We prove that the Galerkin finite element solution $u_h$ of the Laplace equation in a convex polyhedron $\varOmega$, with a quasi-uniform tetrahedral partition of the domain and with finite elements of polynomial degree $r\ge 1$, satisfies the following weak maximum principle: \begin{align*} \left\|u_{h}\right\|_{L^{\infty}(\varOmega)} \le C\left\|u_{h}\right\|_{L^{\infty}(\partial \varOmega)} , \end{align*} with a constant $C$ independent of the mesh size $h$. By using this result, we show that the Ritz projection operator $R_h$ is stable in $L^\infty$ norm uniformly in $h$ for $r\geq 2$, i.e. \begin{align*} \|R_hu\|_{L^{\infty}(\varOmega)} \le C\|u\|_{L^{\infty}(\varOmega)} . \end{align*} Thus we remove a logarithmic factor appearing in the previous results for convex polyhedral domains.

中文翻译：

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凸多面体有限元法的弱离散极大值原理

我们证明了凸多面体$\varOmega$中拉普拉斯方程的Galerkin有限元解$u_h$，具有域的准一致四面体划分和多项式次数为$r\ge 1$的有限元，满足遵循弱最大值原则： \begin{align*} \left\|u_{h}\right\|_{L^{\infty}(\varOmega)} \le C\left\|u_{h}\right\ |_{L^{\infty}(\partial \varOmega)} , \end{align*} 具有与网格大小 $h$ 无关的常量 $C$。通过使用这个结果，我们表明 Ritz 投影算子 $R_h$ 在 $L^\infty$ 范数中对于 $r\geq 2$ 一致地在 $h$ 中是稳定的，即 \begin{align*} \|R_hu\| _{L^{\infty}(\varOmega)} \le C\|u\|_{L^{\infty}(\varOmega)} . \end{align*} 因此，我们删除了出现在先前凸多面体域结果中的对数因子。