Bounded-angle (minimum) spanning trees were first introduced in the context of wireless networks with directional antennas. They are reminiscent of bounded-degree spanning trees, which have received significant attention. Let $P = \{p_1,\ldots,p_n\}$ be a set of $n$ points in the plane, let $\Pi$ be the polygonal path $(p_1,\ldots,p_n)$, and let $0 < \alpha < 2\pi$ be an angle. An $\alpha$-spanning tree ($\alpha$-ST) of $P$ is a spanning tree of the complete Euclidean graph over $P$, with the following property: For each vertex $p_i \in P$, the (smallest) angle that is spanned by all the edges incident to $p_i$ is at most $\alpha$. An $\alpha$-minimum spanning tree ($\alpha$-MST) is an $\alpha$-ST of $P$ of minimum weight, where the weight of an $\alpha$-ST is the sum of the lengths of its edges. In this paper, we consider the problem of computing an $\alpha$-MST, for the important case where $\alpha = \frac{2\pi}{3}$. We present a simple 4-approximation algorithm, thus improving upon the previous results of Aschner and Katz and Biniaz et al., who presented algorithms with approximation ratios 6 and $\frac{16}{3}$, respectively. In order to obtain this result, we devise a simple $O(n)$-time algorithm for constructing a $\frac{2\pi}{3}$-ST\, ${\cal T}$ of $P$, such that ${\cal T}$'s weight is at most twice that of $\Pi$ and, moreover, ${\cal T}$ is a 3-hop spanner of $\Pi$. This latter result is optimal in the sense that for any $\varepsilon > 0$ there exists a polygonal path for which every $\frac{2\pi}{3}$-ST has weight greater than $2-\varepsilon$ times the weight of the path.

中文翻译：

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$\frac{2\pi}{3}$-MST 的 4-近似

有界角（最小）生成树最初是在具有定向天线的无线网络环境中引入的。它们让人想起了受到极大关注的有界度生成树。令 $P = \{p_1,\ldots,p_n\}$ 为平面中的一组 $n$ 个点，令 $\Pi$ 为多边形路径 $(p_1,\ldots,p_n)$，​​令 $0 < \alpha < 2\pi$ 是一个角度。$P$ 的 $\alpha$-生成树 ($\alpha$-ST) 是在 $P$ 上的完整欧几里得图的生成树，具有以下性质：对于每个顶点 $p_i \in P$，与 $p_i$ 相关的所有边所跨越的（最小）角度至多为 $\alpha$。$\alpha$-最小生成树（$\alpha$-MST）是最小权重$P$的$\alpha$-ST，其中$\alpha$-ST的权重是长度之和它的边缘。在本文中，我们考虑计算 $\alpha$-MST 的问题，对于 $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ 的重要情况。我们提出了一个简单的 4 近似算法，从而改进了 Aschner 和 Katz 以及 Biniaz 等人之前的结果，他们分别提出了近似比为 6 和 $\frac{16}{3}$ 的算法。为了得到这个结果，我们设计了一个简单的 $O(n)$-time 算法来构造 $\frac{2\pi}{3}$-ST\, ${\cal T}$ of $P$ ，使得 ${\cal T}$ 的权重至多是 $\Pi$ 的两倍，而且，${\cal T}$ 是 $\Pi$ 的 3 跳扳手。后一个结果是最优的，因为对于任何 $\varepsilon > 0$ 都存在一个多边形路径，其中每个 $\frac{2\pi}{3}$-ST 的权重都大于 $2-\varepsilon$ 乘以路径的权重。对于 $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ 的重要情况。我们提出了一个简单的 4 近似算法，从而改进了 Aschner 和 Katz 以及 Biniaz 等人之前的结果，他们分别提出了近似比为 6 和 $\frac{16}{3}$ 的算法。为了得到这个结果，我们设计了一个简单的 $O(n)$-time 算法来构造 $\frac{2\pi}{3}$-ST\, ${\cal T}$ of $P$ ，使得 ${\cal T}$ 的权重至多是 $\Pi$ 的两倍，而且，${\cal T}$ 是 $\Pi$ 的 3 跳扳手。后一个结果是最优的，因为对于任何 $\varepsilon > 0$ 都存在一个多边形路径，其中每个 $\frac{2\pi}{3}$-ST 的权重都大于 $2-\varepsilon$ 乘以路径的权重。对于 $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ 的重要情况。我们提出了一个简单的 4 近似算法，从而改进了 Aschner 和 Katz 以及 Biniaz 等人之前的结果，他们分别提出了近似比为 6 和 $\frac{16}{3}$ 的算法。为了得到这个结果，我们设计了一个简单的 $O(n)$-time 算法来构造 $\frac{2\pi}{3}$-ST\, ${\cal T}$ of $P$ ，使得 ${\cal T}$ 的权重至多是 $\Pi$ 的两倍，而且，${\cal T}$ 是 $\Pi$ 的 3 跳扳手。后一个结果是最优的，因为对于任何 $\varepsilon > 0$ 都存在一个多边形路径，其中每个 $\frac{2\pi}{3}$-ST 的权重都大于 $2-\varepsilon$ 乘以路径的权重。因此改进了 Aschner 和 Katz 以及 Biniaz 等人之前的结果，他们分别提出了近似比为 6 和 $\frac{16}{3}$ 的算法。为了得到这个结果，我们设计了一个简单的 $O(n)$-time 算法来构造 $\frac{2\pi}{3}$-ST\, ${\cal T}$ of $P$ ，使得 ${\cal T}$ 的权重至多是 $\Pi$ 的两倍，而且，${\cal T}$ 是 $\Pi$ 的 3 跳扳手。后一个结果是最优的，因为对于任何 $\varepsilon > 0$ 都存在一个多边形路径，其中每个 $\frac{2\pi}{3}$-ST 的权重都大于 $2-\varepsilon$ 乘以路径的权重。因此改进了 Aschner 和 Katz 以及 Biniaz 等人之前的结果，他们分别提出了近似比为 6 和 $\frac{16}{3}$ 的算法。为了得到这个结果，我们设计了一个简单的 $O(n)$-time 算法来构造 $\frac{2\pi}{3}$-ST\, ${\cal T}$ of $P$ ，使得 ${\cal T}$ 的权重至多是 $\Pi$ 的两倍，而且，${\cal T}$ 是 $\Pi$ 的 3 跳扳手。后一个结果是最优的，因为对于任何 $\varepsilon > 0$ 都存在一个多边形路径，其中每个 $\frac{2\pi}{3}$-ST 的权重都大于 $2-\varepsilon$ 乘以路径的权重。$P$ 的 ${\cal T}$，这样 ${\cal T}$ 的权重最多是 $\Pi$ 的两倍，而且，${\cal T}$ 是 3 跳$\Pi$ 的扳手。后一个结果是最优的，因为对于任何 $\varepsilon > 0$ 都存在一个多边形路径，其中每个 $\frac{2\pi}{3}$-ST 的权重都大于 $2-\varepsilon$ 乘以路径的权重。$P$ 的 ${\cal T}$，这样 ${\cal T}$ 的权重最多是 $\Pi$ 的两倍，而且，${\cal T}$ 是 3 跳$\Pi$ 的扳手。后一个结果是最优的，因为对于任何 $\varepsilon > 0$ 都存在一个多边形路径，其中每个 $\frac{2\pi}{3}$-ST 的权重都大于 $2-\varepsilon$ 乘以路径的权重。