An oriented tetrahedron defined on four vertices is a set of four cyclic triples with the property that any ordered pair of vertices is contained in exactly one of the cyclic triples. A tetrahedral quadruple system of order $n$ with index $\lambda$, denoted by ${\text{TQS}}_{\lambda }\left(n\right)$, is a pair $\left(X,\mathrm{ℬ}\right)$, where $X$ is an $n$‐set and $\mathrm{ℬ}$ is a set of oriented tetrahedra (blocks) such that every cyclic triple on $X$ is contained in exactly $\lambda$ members of $\mathrm{ℬ}$. A ${\text{TQS}}_{\lambda }\left(n\right)$ is pure if there do not exist two blocks with the same vertex set. When $\lambda =1$, the spectrum of a pure TQS $\left(n\right)$ has been completely determined by Ji. In this paper, we show that there exists a pure ${\text{TQS}}_2\left(n\right)$ if and only if $n\equiv 1,2\left(\mathrm{mod}3\right)$ and $n\ge 7$. A corollary is that a simple ${\text{QS}}_4\left(n\right)$ also exists if and only if $n\equiv 1,2\left(\mathrm{mod}3\right)$ and $n\ge 7$.

中文翻译：

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具有索引2的纯四面体四元系统

定义在四个顶点上的定向四面体是一组四个环状三元组，其特性是，任何有序的一对顶点都恰好包含在一个环状三元组中。四面体四阶有序系统$ñ$ 带索引 $\lambda$，表示为 ${\text{全面质量管理体系}}_{\lambda }（ñ）$，是一对 $（X，\mathrm{ℬ}）$，在哪里 $X$ 是一个 $ñ$设置和 $\mathrm{ℬ}$ 是一组定向的四面体（块），使得每个环状三元组在 $X$ 完全包含在 $\lambda$ 的成员 $\mathrm{ℬ}$。一种${\text{全面质量管理体系}}_{\lambda }（ñ）$如果不存在两个具有相同顶点集的块，则为纯。什么时候$\lambda =\mathrm{1个}$，纯TQS的光谱 $（ñ）$已由纪完全决定。在本文中，我们表明存在一个纯净的${\text{全面质量管理体系}}_2（ñ）$ 当且仅当 $ñ\equiv \mathrm{1个}，2（模3）$ 和 $ñ\ge 7$。一个必然结果是，简单${\text{质量体系}}_4（ñ）$ 也存在，当且仅当 $ñ\equiv \mathrm{1个}，2（模3）$ 和 $ñ\ge 7$。