Let $f: \{0,1\}^n \to \{0, 1\}$ be a boolean function, and let $f_\land (x, y) = f(x \land y)$ denote the AND-function of $f$, where $x \land y$ denotes bit-wise AND. We study the deterministic communication complexity of $f_\land$ and show that, up to a $\log n$ factor, it is bounded by a polynomial in the logarithm of the real rank of the communication matrix of $f_\land$. This comes within a $\log n$ factor of establishing the log-rank conjecturefor AND-functions with no assumptions on $f$. Our result stands in contrast with previous results on special cases of the log-rank conjecture, which needed significant restrictions on $f$ such as monotonicity or low $\mathbb{F}_2$-degree. Our techniques can also be used to prove (within a $\log n$ factor) a lifting theorem for AND-functions, stating that the deterministic communication complexity of $f_\land$ is polynomially-related to the AND-decision tree complexity of $f$. The results rely on a new structural result regarding boolean functions $f:\{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$ with a sparse polynomial representation, which may be of independent interest. We show that if the polynomial computing $f$ has few monomials then the set system of the monomials has a small hitting set, of size poly-logarithmic in its sparsity. We also establish extensions of this result to multi-linear polynomials $f:\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ with a larger range.

中文翻译：

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AND 函数的对数秩和提升

令 $f: \{0,1\}^n \to \{0, 1\}$ 是一个布尔函数，让 $f_\land (x, y) = f(x \land y)$ 表示$f$ 的 AND 函数，其中 $x \land y$ 表示按位与。我们研究了 $f_\land$ 的确定性通信复杂度，并表明，在 $\log n$ 因子以内，它受 $f_\land$ 的通信矩阵实秩的对数多项式的限制。这属于建立 AND 函数的对数秩猜想的 $\log n$ 因素，而没有对 $f$ 的假设。我们的结果与之前在对数秩猜想的特殊情况下的结果形成对比，后者需要对 $f$ 进行重大限制，例如单调性或低 $\mathbb{F}_2$-degree。我们的技术还可用于证明（在 $\log n$ 因子内）AND 函数的提升定理，说明 $f_\land$ 的确定性通信复杂度与 $f$ 的 AND 决策树复杂度多项式相关。结果依赖于关于布尔函数 $f:\{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$ 的新结构结果，具有稀疏多项式表示，这可能是独立的。我们表明，如果多项式计算 $f$ 具有很少的单项式，那么单项式的集合系统有一个小的命中集，其稀疏性大小为多对数。我们还将这个结果扩展到更大范围的多重线性多项式 $f:\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$。我们表明，如果多项式计算 $f$ 具有很少的单项式，那么单项式的集合系统有一个小的命中集，其稀疏性大小为多对数。我们还将这个结果扩展到更大范围的多重线性多项式 $f:\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$。我们表明，如果多项式计算 $f$ 具有很少的单项式，那么单项式的集合系统有一个小的命中集，其稀疏性大小为多对数。我们还将这个结果扩展到更大范围的多重线性多项式 $f:\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$。