A new linear inversion formula for a class of hypergeometric polynomials,Integral Transforms and Special Functions

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A new linear inversion formula for a class of hypergeometric polynomials
Integral Transforms and Special Functions ( IF 0.7 ) Pub Date : 2020-10-19 , DOI: 10.1080/10652469.2020.1833002
Ridha Nasri ₁ , Alain Simonian ₁ , Fabrice Guillemin ₂

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ABSTRACT

Given complex parameters x, ν, α, β and $γ \notin - N$ , consider the infinite lower triangular matrix $A (x, ν; α, β, γ)$ with elements $A_{n, k} (x, ν; α, β, γ) = (- 1)^{k} (\binom{n + α}{k + α}) \cdot F (k - n, - (β + n) ν; - (γ + n); x)$ for $1 ⩽ k ⩽ n$ , depending on the Hypergeometric polynomials $F (- n, \cdot; \cdot; x)$ , $n \in N^{*}$ . After stating a general criterion for the inversion of infinite matrices in terms of associated generating functions, we prove that the inverse matrix $B (x, ν; α, β, γ) = A (x, ν; α, β, γ)^{- 1}$ is given by $\begin{aligned} B_{n, k} (x, ν; α, β, γ) & = (- 1)^{k} (\binom{n + α}{k + α}) \\ \cdot [\frac{γ + k}{β + k} F (k - n, (β + k) ν; γ + k; x) \\ + \frac{β - γ}{β + k} F (k - n, (β + k) ν; 1 + γ + k; x)] \end{aligned}$ for $1 ⩽ k ⩽ n$ , thus providing a new class of linear inversion formulas. Functional relations for the generating functions of related sequences S and T, that is, $T = A (x, ν; α, β, γ) S ⟺ S = B (x, ν; α, β, γ) T$ , are also provided.

中文翻译：

一类超几何多项式的新线性反演公式

摘要

给定复参数x , ν , α , β和 $γ \notin - N$ , 考虑无穷下三角矩阵 $一种 (X, ν; α, β, γ)$ 有元素 ${一种}_{n, 克} (X, ν; α, β, γ) = (- 1)^{克} (\binom{n + α}{克 + α}) \cdot F (克 - n, - (β + n) ν; - (γ + n); X)$ 为了 $1 ⩽ 克 ⩽ n$ , 取决于超几何多项式 $F (- n, \cdot; \cdot; X)$ , $n \in N^{＊}$ . 在根据关联的生成函数陈述了无限矩阵求逆的一般准则之后，我们证明了逆矩阵 $乙 (X, ν; α, β, γ) = 一种 (X, ν; α, β, γ)^{- 1}$ 是（谁）给的 $\begin{aligned} 乙_{n, 克} (X, ν; α, β, γ) & = (- 1)^{克} (\binom{n + α}{克 + α}) \\ \cdot [\frac{γ + 克}{β + 克} F (克 - n, (β + 克) ν; γ + 克; X) \\ + \frac{β - γ}{β + 克} F (克 - n, (β + 克) ν; 1 + γ + 克; X)] \end{aligned}$ 为了 $1 ⩽ 克 ⩽ n$ ，从而提供了一类新的线性反演公式。相关序列S和T的生成函数的函数关系，即 $吨 = 一种 (X, ν; α, β, γ) 秒 ⟺ 秒 = 乙 (X, ν; α, β, γ) 吨$ ，还提供。

更新日期：2020-10-19

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