Assume that a basic algebra $A$ over an algebraically closed field $\Bbbk$ with a basic set $A_0$ of primitive idempotents has the property that $eAe=\Bbbk$ for all $e \in A_0$. Let $n$ be a nonzero integer, and $\phi$ and $\psi$ two automorphisms of the repetitive category $\hat{A}$ of $A$ with jump $n$ (namely, they send $A^{[0]}$ to $A^{[n]}$, where $A^{[i]}$ is the $i$-th copy of $A$ in $\hat{A}$ for all $i \in \mathbb{Z}$). If $\phi$ and $\psi$ coincide on the objects and if there exists a map $\rho \colon A_0 \to \Bbbk$ such that $\rho_0(y)\phi_0(a)=\psi_0(a)\rho _0(x)$ for all morphisms $a\in A(x,y)$, then the orbit categories $\hat{A}/\langle \phi \rangle$ and $\hat{A}/\langle \psi \rangle$ are isomorphic as $\mathbb{Z}$-graded categories.

中文翻译：

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关于无非零定向圈代数的广义多重扩展的同构

假设在代数闭域 $\Bbbk$ 上的基本代数 $A$ 具有原始幂等的基本集合 $A_0$，对于所有 $e \in A_0$ 具有 $eAe=\Bbbk$ 的性质。令 $n$ 为非零整数，$\phi$ 和 $\psi$ 是 $A$ 的重复范畴 $\hat{A}$ 的两个自同构，跳跃 $n$（即，它们发送 $A^{ [0]}$ 到 $A^{[n]}$，其中 $A^{[i]}$ 是所有 $i 在 $\hat{A}$ 中 $A$ 的第 $i$ 个副本\in \mathbb{Z}$)。如果 $\phi$ 和 $\psi$ 在对象上重合，并且如果存在映射 $\rho \colon A_0 \to \Bbbk$ 使得 $\rho_0(y)\phi_0(a)=\psi_0(a) \rho _0(x)$ 对于所有态射 $a\in A(x,y)$，然后轨道类别 $\hat{A}/\langle \phi \rangle$ 和 $\hat{A}/\langle \psi \rangle$ 同构为 $\mathbb{Z}$-graded 类别。