Let A be a nonsingular complex (n × n) matrix. The congruence centralizer of A is the collection $$\mathcal{L}$$ of matrices X satisfying the relation $$X{\kern 1pt} {\text{*}}AX = A$$ . The dimension of $$\mathcal{L}$$ as a real variety in the matrix space $${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$$ is shown to be equal to the difference of the real dimensions of the following two sets: the conventional centralizer of the matrix $${{A}^{ - }}{\text{*}}A$$ , called the cosquare of A, and the matrix set described by the relation $$X = {{A}^{{ - 1}}}X{\kern 1pt} {\text{*}}A$$ . This dimensional formula is the complex analog of the classical result of A. Voss, which refers to another type of involution in $${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$$ .

中文翻译：

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关于同余集中器的维数

设 A 是一个非奇异复数 (n × n) 矩阵。A 的同余集中器是满足关系 $$X{\kern 1pt} {\text{*}}AX = A$$ 的矩阵 X 的集合 $$\mathcal{L}$$ 。$$\mathcal{L}$$ 在矩阵空间 $${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$$ 作为实变体的维数显示为等于差值以下两个集合的实维数：矩阵 $${{A}^{ - }}{\text{*}}A$$ 的常规中心化器，称为 A 的余平方，以及描述的矩阵集关系 $$X = {{A}^{{ - 1}}}X{\kern 1pt} {\text{*}}A$$ 。这个维度公式是 A. Voss 经典结果的复杂模拟，它指的是 $${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$$ 中的另一种对合类型。