In this paper, we investigate the sum of distinct parts that appear at least 2 times in all the partitions of n providing new combinatorial interpretations for this sum. A connection with subsets of {1, 2,…,n} is given in this context. We provide two different proofs of our results: analytic and combinatorial. In addition, considering the multiplicity of parts in a partition, we provide a combinatorial proof of the truncated pentagonal number theorem of Andrews and Merca.

中文翻译：

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关于 n 的所有分区中多重性至少为 2 的部分之和

在本文中，我们研究了在所有分区中出现至少 2 次的不同部分的总和。n为这个总和提供新的组合解释。与子集的连接{1, 2,…,n}在这种情况下给出。我们为我们的结果提供了两种不同的证明：分析证明和组合证明。此外，考虑到分区中部分的多样性，我们提供了 Andrews 和 Merca 截断五边形数定理的组合证明。