Let $\mathcal A$ and $\mathcal B$ be commutative and semisimple Banach algebras and let $\theta \in \Delta (\mathcal B)$ . In this paper, we prove that $\mathcal A\times _{\theta }\mathcal B$ is a type I-BSE algebra if and only if ${\mathcal A}_e$ and $\mathcal B$ are so. As a main application of this result, we prove that $\mathcal A\times _{\theta }\mathcal B$ is isomorphic with a $C^*$ -algebra if and only if ${\mathcal A}_e$ and $\mathcal B$ are isomorphic with $C^* $ -algebras. Moreover, we derive related results for the case where $\mathcal A$ is unital.

让 $\mathcal A$ 和 $\mathcal B$ 是可交换的和半简单的 Banach 代数，并让 $\theta \in \Delta (\mathcal B)$ 。在本文中，我们证明 $\mathcal A\times _{\theta }\mathcal B$ 是类型 I-BSE 代数当且仅当 ${\mathcal A}_e$ 和 $\mathcal B$ 是。作为该结果的主要应用，我们证明 $\mathcal A\times _{\theta }\mathcal B$ 与 $C^*$ - 代数同构 当且仅当 ${\mathcal A}_e$ 和 $\mathcal B$ 与 $C^* $ 同构 -代数。此外，我们推导出 $\mathcal A$ 为单位的情况的相关结果 。