Abstract Let A be a symmetric operator. By using the method of boundary triplets we parameterize in terms of a Nevanlinna parameter τ all exit space extensions A ˜ = A ˜ ⁎ of A with the discrete spectrum σ ( A ˜ ) and characterize the Shtraus family of A ˜ in terms of abstract boundary conditions. Next we apply these results to the eigenvalue problem for the 2r-th order differential equation l [ y ] = λ Δ ( x ) y on an interval [ a , b ) , − ∞ a b ≤ ∞ , subject to λ-depending separated boundary conditions with entire operator-functions C 0 ( λ ) and C 1 ( λ ) , which form a Nevanlinna pair ( C 0 , C 1 ) . The weight Δ ( x ) is nonnegative and may vanish on some intervals ( α , β ) ⊂ I . We show that in the case when the minimal operator of the equation has the discrete spectrum (in particular, in the case of the quasiregular equation) the set of eigenvalues of the eigenvalue problem is an infinite subset of R without finite limit points and each function y ∈ L Δ 2 ( I ) admits the eigenfunction expansion y ( x ) = ∑ k = 1 ∞ y k ( x ) converging in L Δ 2 ( I ) . Moreover, we give an explicit method for calculation of eigenfunctions y k in this expansion and specify boundary conditions on y implying the uniform convergence of the eigenfunction expansion of y. These results develop the known ones obtained for the case of the positive weight Δ and the more restrictive class of λ-depending boundary conditions.

中文翻译：

---

关于权重退化微分方程的本征函数展开

摘要 令 A 为对称算子。通过使用边界三元组的方法，我们根据 Nevanlinna 参数 τ 参数化具有离散谱 σ ( A ˜ ) A 的所有出口空间扩展 A ˜ = A ˜ ⁎ 并根据抽象边界表征 A ˜ 的 Shtraus 族使适应。接下来，我们将这些结果应用于二阶微分方程 l [ y ] = λ Δ ( x ) y 在区间 [ a , b ) , − ∞ ab ≤ ∞ 的特征值问题，服从依赖于 λ 的分离边界条件与整个算子函数 C 0 (λ) 和 C 1 (λ) ，形成一个 Nevanlinna 对 (C 0 , C 1 ) 。权重 Δ ( x ) 是非负的，并且可能在某些区间 (α, β) ⊂ I 上消失。我们表明，当方程的最小算子具有离散谱（特别是，在拟正则方程的情况下）特征值问题的特征值集是 R 的无限子集，没有有限的极限点，每个函数 y ∈ L Δ 2 ( I ) 允许特征函数展开 y ( x ) = ∑ k = 1 ∞ yk ( x ) 收敛于 L Δ 2 ( I ) 。此外，我们给出了在这个展开式中计算本征函数 yk 的显式方法，并指定了 y 上的边界条件，这意味着 y 的本征函数展开式的一致收敛。这些结果发展了在正权重 Δ 和更严格的 λ 相关边界条件类的情况下获得的已知结果。我们给出了在这个展开式中计算本征函数 yk 的显式方法，并指定了 y 的边界条件，这意味着 y 的本征函数展开式的一致收敛。这些结果发展了在正权重 Δ 和更严格的 λ 相关边界条件类的情况下获得的已知结果。我们给出了在这个展开式中计算本征函数 yk 的显式方法，并指定了 y 的边界条件，这意味着 y 的本征函数展开式的一致收敛。这些结果发展了在正权重 Δ 和更严格的 λ 相关边界条件类的情况下获得的已知结果。