This article presents a general framework for recovering missing dynamical systems using available data and machine learning techniques. The proposed framework reformulates the prediction problem as a supervised learning problem to approximate a map that takes the memories of the resolved and identifiable unresolved variables to the missing components in the resolved dynamics. We demonstrate the effectiveness of the proposed framework with a strong convergence error bound of the resolved variables up to finite time and numerical tests on prototypical models in various scientific domains. These include the 57-mode barotropic stress models with multiscale interactions that mimic the blocked and unblocked patterns observed in the atmosphere, the nonlinear Schrödinger equation which found many applications in physics such as optics and Bose-Einstein-Condense, the Kuramoto-Sivashinsky equation which spatiotemporal chaotic pattern formation models trapped-ion modes in plasma and phase dynamics in reaction-diffusion systems. While many machine learning techniques can be used to validate the proposed framework, we found that recurrent neural networks outperform kernel regression methods in terms of recovering the trajectory of the resolved components and the equilibrium one-point and two-point statistics. This superb performance suggests that a recurrent neural network is an effective tool for recovering the missing dynamics that involves approximation of high-dimensional functions.

本文介绍了使用可用数据和机器学习技术来恢复缺少的动态系统的通用框架。提出的框架将预测问题重新制定为有监督的学习问题，以近似映射图，该映射图将已解析和可识别的未解析变量的内存存储到解析动力学中的缺失组件。我们通过有限的时间和对各种科学领域中原型模型的数值测试，对所解析变量的强收敛误差范围证明了所提出框架的有效性。其中包括具有多尺度相互作用的57模式正压应力模型，该模型模拟了在大气中观察到的阻塞和非阻塞模式，非线性Schrödinger方程在物理学中有许多应用，例如光学和Bose-Einstein-Condense，Kuramoto-Sivashinsky方程，其时空混沌模式形成模型模拟了反应扩散系统中等离子体和相动力学中的俘获离子模式。虽然可以使用许多机器学习技术来验证所提出的框架，但我们发现，在恢复已解析组件的轨迹以及平衡的一点和两点统计方面，递归神经网络的性能优于核回归方法。这种出色的性能表明，递归神经网络是一种有效的工具，可以恢复涉及高维函数近似的缺失动力学。Kuramoto-Sivashinsky方程，其时空混沌模式形成模拟了反应扩散系统中等离子体中的离子模式和相动力学。尽管可以使用许多机器学习技术来验证所提出的框架，但我们发现，在恢复已分解分量的轨迹以及平衡的一点和两点统计方面，递归神经网络的性能优于核回归方法。这种出色的性能表明，递归神经网络是一种有效的工具，可以恢复涉及高维函数近似的缺失动力学。Kuramoto-Sivashinsky方程，其时空混沌模式形成模拟了反应扩散系统中等离子体中的离子模式和相动力学。虽然可以使用许多机器学习技术来验证所提出的框架，但我们发现，在恢复已解析组件的轨迹以及平衡的一点和两点统计方面，递归神经网络的性能优于核回归方法。这种出色的性能表明，递归神经网络是一种有效的工具，可以恢复涉及高维函数近似的缺失动力学。我们发现，在恢复已分解分量的轨迹以及平衡的单点和两点统计量方面，递归神经网络的性能优于核回归方法。这种出色的性能表明，递归神经网络是一种有效的工具，可以恢复涉及高维函数近似的缺失动力学。我们发现，在恢复已分解分量的轨迹以及平衡的单点和两点统计量方面，递归神经网络的性能优于核回归方法。这种出色的性能表明，递归神经网络是一种有效的工具，可以恢复涉及高维函数近似的缺失动力学。