Let G be a group. The orbits of the natural action of $${{\,\mathrm{Aut}\,}}(G)$$ Aut ( G ) on G are called “automorphism orbits” of G , and the number of automorphism orbits of G is denoted by $$\omega (G)$$ ω ( G ) . We prove that if G is a soluble group of finite rank such that $$\omega (G)< \infty $$ ω ( G ) < ∞ , then G contains a torsion-free radicable nilpotent characteristic subgroup K such that $$G = K \rtimes H$$ G = K ⋊ H , where H is a finite group. Moreover, we classify the mixed order soluble groups of finite rank such that $$\omega (G)=3$$ ω ( G ) = 3 .

中文翻译：

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自同构下轨道少的可溶群

让 G 成为一个组。$${{\,\mathrm{Aut}\,}}(G)$$ Aut ( G ) 在 G 上的自然作用的轨道称为 G 的“自同构轨道”，G 的自同构轨道数表示为 $$\omega (G)$$ ω ( G ) 。我们证明，如果 G 是一个有限秩的可解群，使得 $$\omega (G)< \infty $$ ω ( G ) < ∞ ，那么 G 包含一个无扭可根幂零特征子群 K 使得 $$G = K \rtimes H$$ G = K ⋊ H ，其中 H 是有限群。此外，我们对有限秩的混合阶可溶群进行分类，使得 $$\omega (G)=3$$ ω ( G ) = 3 。