The Maximum Carpool Matching problem is a star packing problem in directed graphs. Formally, given a directed graph $$G = (V, A)$$ G = ( V , A ) , a capacity function $$c: V \rightarrow {\mathbb {N}}$$ c : V → N , and a weight function $$w: A \rightarrow {\mathbb {R}}^+$$ w : A → R + , a carpool matching is a subset of arcs, $$M \subseteq A$$ M ⊆ A , such that every $$v \in V$$ v ∈ V satisfies: (1) $$d^{\text {in}}_{M}(v) \cdot d^{\text {out}}_{M}(v) = 0$$ d M in ( v ) · d M out ( v ) = 0 , (2) $$d^{\text {in}}_{M}(v) \le c(v)$$ d M in ( v ) ≤ c ( v ) , and (3) $$d^{\text {out}}_{M}(v) \le 1$$ d M out ( v ) ≤ 1 . A vertex v for which $$d^{\text {out}}_{M}(v) = 1$$ d M out ( v ) = 1 is a passenger , and a vertex for which $$d^{\text {out}}_{M}(v) = 0$$ d M out ( v ) = 0 is a driver who has $$d^{\text {in}}_{M}(v)$$ d M in ( v ) passengers. In the Maximum Carpool Matching problem the goal is to find a carpool matching M of maximum total weight. The problem arises when designing an online carpool service, such as Zimride (Zimride by enterprise. https://zimride.com/ ), which tries to connect between users based on a similarity function. The problem is known to be NP-hard, even in the unweighted and uncapacitated case. The Maximum Group Carpool Matching problem, is an extension of the Maximum Carpool Matching where each vertex represents an unsplittable group of passengers. Formally, each vertex $$u \in V$$ u ∈ V has a size $$s(u) \in {\mathbb {N}}$$ s ( u ) ∈ N , and the constraint $$d^{\text {in}}_{M}(v) \le c(v)$$ d M in ( v ) ≤ c ( v ) is replaced with $$\sum _{u:(u,v) \in M} s(u) \le c(v)$$ ∑ u : ( u , v ) ∈ M s ( u ) ≤ c ( v ) . We show that Maximum Carpool Matching can be formulated as an unconstrained submodular maximization problem, thus it admits a $$\frac{1}{2}$$ 1 2 -approximation algorithm. We show that the same formulation does not work for Maximum Group Carpool Matching , nevertheless, we present a local search $$(\frac{1}{2} - \varepsilon )$$ ( 1 2 - ε ) -approximation algorithm for Maximum Group Carpool Matching . For the unweighted variant of both problems when the maximum possible capacity, $$c_{\max }$$ c max , is bounded by a constant, we provide a local search $$(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2c_{\max }} - \varepsilon )$$ ( 1 2 + 1 2 c max - ε ) -approximation algorithm. We also provide an APX-hardness result, even if the maximum degree and $$c_{\max }$$ c max are at most 3.

中文翻译：

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最大拼车匹配问题的局部搜索算法

最大拼车匹配问题是有向图中的星形包装问题。形式上，给定一个有向图 $$G = (V, A)$$ G = ( V , A ) ，容量函数 $$c: V \rightarrow {\mathbb {N}}$$ c : V → N ，和权重函数 $$w: A \rightarrow {\mathbb {R}}^+$$ w : A → R + ，拼车匹配是弧的子集， $$M \subseteq A$$ M ⊆ A ，使得每一个 $$v \in V$$ v ∈ V 满足： (1) $$d^{\text {in}}_{M}(v) \cdot d^{\text {out}}_{ M}(v) = 0$$ d M in ( v ) · d M out ( v ) = 0 , (2) $$d^{\text {in}}_{M}(v) \le c( v)$$d M in ( v ) ≤ c ( v ) ，和 (3) $$d^{\text {out}}_{M}(v) \le 1$$ d M out ( v ) ≤ 1 . $$d^{\text {out}}_{M}(v) = 1$$ d M out ( v ) = 1 的顶点 v 是乘客，而 $$d^{\ text {out}}_{M}(v) = 0$$ d M out ( v ) = 0 是一个拥有 $$d^{\text {in}}_{M}(v)$$ d 的司机M in ( v ) 乘客。在最大拼车匹配问题中，目标是找到匹配最大总重量 M 的拼车。在设计一个在线拼车服务时就会出现这个问题，比如 Zimride（企业的 Zimride。https://zimride.com/），它试图基于相似度函数在用户之间进行连接。已知该问题是 NP-hard 问题，即使在未加权和无能力的情况下也是如此。最大拼车匹配问题是最大拼车匹配问题的扩展，其中每个顶点代表一个不可分割的乘客组。形式上，每个顶点 $$u \in V$$ u ∈ V 具有大小 $$s(u) \in {\mathbb {N}}$$ s ( u ) ∈ N ，以及约束 $$d^{ \text {in}}_{M}(v) \le c(v)$$ d M in ( v ) ≤ c ( v ) 替换为 $$\sum _{u:(u,v) \in M} s(u) \le c(v)$$ ∑ u : ( u , v ) ∈ M s ( u ) ≤ c ( v ) 。我们表明最大拼车匹配可以被表述为一个无约束的子模最大化问题，因此它承认一个 $$\frac{1}{2}$$ 1 2 -近似算法。我们表明相同的公式不适用于最大组拼车匹配，然而，我们提出了局部搜索 $$(\frac{1}{2} - \varepsilon )$$ ( 1 2 - ε ) - 最大的近似算法团体拼车匹配。对于当最大可能容量 $$c_{\max }$$ c max 受常数限制时这两个问题的未加权变体，我们提供了局部搜索 $$(\frac{1}{2}+ \frac {1}{2c_{\max }} - \varepsilon )$$ ( 1 2 + 1 2 c max - ε ) - 近似算法。我们还提供了 APX 硬度结果，即使最大度数和 $$c_{\max }$$ c max 最多为 3。因此它承认 $$\frac{1}{2}$$ 1 2 -近似算法。我们表明相同的公式不适用于最大组拼车匹配，然而，我们提出了局部搜索 $$(\frac{1}{2} - \varepsilon )$$ ( 1 2 - ε ) - 最大的近似算法团体拼车匹配。对于当最大可能容量 $$c_{\max }$$ c max 受常数限制时这两个问题的未加权变体，我们提供了局部搜索 $$(\frac{1}{2}+ \frac {1}{2c_{\max }} - \varepsilon )$$ ( 1 2 + 1 2 c max - ε ) - 近似算法。我们还提供了 APX 硬度结果，即使最大度数和 $$c_{\max }$$ c max 最多为 3。因此它承认 $$\frac{1}{2}$$ 1 2 -近似算法。我们表明相同的公式不适用于最大组拼车匹配，然而，我们提出了局部搜索 $$(\frac{1}{2} - \varepsilon )$$ ( 1 2 - ε ) - 最大的近似算法团体拼车匹配。对于当最大可能容量 $$c_{\max }$$ c max 受常数限制时这两个问题的未加权变体，我们提供了局部搜索 $$(\frac{1}{2}+ \frac {1}{2c_{\max }} - \varepsilon )$$ ( 1 2 + 1 2 c max - ε ) - 近似算法。我们还提供了 APX 硬度结果，即使最大度数和 $$c_{\max }$$ c max 最多为 3。我们提出了一个局部搜索 $$(\frac{1}{2} - \varepsilon )$$ ( 1 2 - ε ) - 最大组拼车匹配的近似算法。对于当最大可能容量 $$c_{\max }$$ c max 受常数限制时这两个问题的未加权变体，我们提供了局部搜索 $$(\frac{1}{2}+ \frac {1}{2c_{\max }} - \varepsilon )$$ ( 1 2 + 1 2 c max - ε ) - 近似算法。我们还提供了 APX 硬度结果，即使最大度数和 $$c_{\max }$$ c max 最多为 3。我们提出了一个局部搜索 $$(\frac{1}{2} - \varepsilon )$$ ( 1 2 - ε ) - 最大组拼车匹配的近似算法。对于当最大可能容量 $$c_{\max }$$ c max 受常数限制时这两个问题的未加权变体，我们提供了局部搜索 $$(\frac{1}{2}+ \frac {1}{2c_{\max }} - \varepsilon )$$ ( 1 2 + 1 2 c max - ε ) - 近似算法。我们还提供了 APX 硬度结果，即使最大度数和 $$c_{\max }$$ c max 最多为 3。