Let $p \ge 5$ be a prime and let $\mathbb{Q}_{n,p}$ denote the $n$-th layer of the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension of $\mathbb{Q}$. We show that $\mathbb{Q}_{n,p}$ has no exceptional units. We use this to prove the effective asymptotic Fermat's Last Theorem over $\mathbb{Q}_{n,p}$ for all $n \ge 1$ and all primes $p \ge 5$ that are non-Wieferich, i.e. $2^{p-1} \not \equiv 1 \pmod{p^2}$. The effectivity in our result builds on recent work of Thorne proving modularity of elliptic curves over $\mathbb{Q}_{n,p}$.

中文翻译：

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关于 ℚ 的ℤp-扩展的渐近费马

令 $p \ge 5$ 为素数，令 $\mathbb{Q}_{n,p}$ 表示 $\mathbb 的分圆 $\mathbb{Z}_p$-extension 的 $n$-th 层{Q}$。我们证明 $\mathbb{Q}_{n,p}$ 没有特殊单位。我们用它来证明有效的渐近费马大定理在 $\mathbb{Q}_{n,p}$ 上，对于所有 $n \ge 1$ 和所有非 Wieferich 的素数 $p \ge 5$，即 $2 ^{p-1} \not \equiv 1 \pmod{p^2}$。我们结果的有效性建立在 Thorne 最近证明 $\mathbb{Q}_{n,p}$ 上椭圆曲线模块化的工作之上。