In this paper, a strongly nonlinear oscillator equation with higher-order nonlinear (cubic) restoring force, namely damped Duffing equation with higher-order nonlinearities, has been solved and analyzed analytically and numerically using some effectiveness and high-accuracy methods. Firstly, the physical oscillator system consisting of a spring–mass moves under cubic resorting force with constant spring is considered for getting damped Duffing equation. After that a semi-analytical solution is obtained in terms of the Jacobian elliptic function cn. Also, the numerical approximate solution using Runge–Kutta-4th (RK4) procedure is carried out and compared to the semi-analytical solution. It is found that the agreement between both solutions is very good especially if the coefficient of the cubic nonlinear term becomes larger than the coefficient of the linear one. However, we made some improvements to the semi-analytical solution using the numerical moving boundary method to get higher accuracy solution. Furthermore, the error analysis is estimated for both the semi-analytical solution, improved semi-analytical solution, and RK4 solution. The method that is used for getting the semi-analytical solution is elementary, i.e., allows to obtain only integrable case without using any Lie group theory. In another meaning, our approach gives exact/analytical solution for the integrable case such as undamped Duffing equation. Moreover, the t-intercepts and amplitude points are estimated precisely. Furthermore, the plasma oscillations are discussed in the framework of damped Duffing equation. Firstly, we reduced the fluid basic equations of pair-ion plasmas with Maxwellian electrons using reductive perturbation technique to a modified korteweg de-Vries Burgers (mKdVB) equation, and by using traveling wave transformation the mKdVB equation is converted to the damped Duffing equation. After that we compared between all mentioned solutions using plasma parameters.

本文利用一些有效性和高精度方法，对具有高阶非线性（立方）恢复力的强非线性振荡器方程，即具有高阶非线性的阻尼达芬方程，进行了解析和数值分析。首先，为了获得阻尼Duffing方程，考虑了由在恒定的弹簧力作用下的三次力作用下的弹簧质量运动组成的物理振荡器系统。此后，根据雅可比椭圆函数cn获得半解析解。同样，使用Runge–Kutta-4th（RK4）程序进行了数值近似解，并将其与半解析解进行了比较。发现，当三次非线性项的系数变得大于线性项的系数时，两个解之间的一致性非常好。但是，我们使用数值移动边界方法对半解析解进行了一些改进，以获得更高的精度。此外，对半分析解决方案，改进的半分析解决方案和RK4解决方案都进行了误差分析。用于获得半解析解的方法是基本的，即，在不使用任何李群理论的情况下，仅能获得可积情况。换句话说，我们的方法针对可积分情况（例如无阻尼Duffing方程）给出了精确/解析解。而且，我们使用数值移动边界方法对半解析解进行了一些改进，以获得更高的精度。此外，对半分析解决方案，改进的半分析解决方案和RK4解决方案都进行了误差分析。用于获得半解析解的方法是基本的，即，在不使用任何李群理论的情况下，仅能获得可积情况。换句话说，我们的方法针对可积分情况（例如无阻尼Duffing方程）给出了精确/解析解。而且，我们使用数值移动边界方法对半解析解进行了一些改进，以获得更高的精度。此外，对半分析解决方案，改进的半分析解决方案和RK4解决方案都进行了误差分析。用于获得半解析解的方法是基本的，即，在不使用任何李群理论的情况下，仅能获得可积情况。换句话说，我们的方法针对可积分情况（例如无阻尼Duffing方程）给出了精确/解析解。而且，允许不使用任何李群理论而仅获得可积情形。换句话说，我们的方法针对可积分情况（例如无阻尼Duffing方程）给出了精确/解析解。而且，允许不使用任何李群理论而仅获得可积情形。换句话说，我们的方法针对可积分情况（例如无阻尼Duffing方程）给出了精确/解析解。而且，精确估计t截距和振幅点。此外，在阻尼达芬方程框架内讨论了等离子体振荡。首先，我们使用还原微扰技术将具有麦克斯韦电子的双离子等离子体的流体基本方程式简化为改进的korteweg de-Vries Burgers（mKdVB）方程，然后通过行波变换将mKdVB方程转换为阻尼Duffing方程。之后，我们使用血浆参数比较了所有提到的解决方案。