We propose a general procedure to construct noncommutative deformations of an algebraic submanifold $M$ of $\mathbb{R}^n$, specializing the procedure [G. Fiore, T. Weber, Twisted submanifolds of $\mathbb{R}^n$, arXiv:2003.03854] valid for smooth submanifolds. We use the framework of twisted differential geometry of Aschieri et al. (Class. Quantum Grav. 23, 1883-1911, 2006), whereby the commutative pointwise product is replaced by the $\star$-product determined by a Drinfel'd twist. We actually simultaneously construct noncommutative deformations of all the algebraic submanifolds $M_c$ that are level sets of the $f^a(x)$, where $f^a(x)=0$ are the polynomial equations solved by the points of $M$, employing twists based on the Lie algebra $\Xi_t$ of vector fields that are tangent to all the $M_c$. The twisted Cartan calculus is automatically equivariant under twisted $\Xi_t$. If we endow $\mathbb{R}^n$ with a metric, then twisting and projecting to normal or tangent components commute, projecting the Levi-Civita connection to the twisted $M$ is consistent, and in particular a twisted Gauss theorem holds, provided the twist is based on Killing vector fields. Twisted algebraic quadrics can be characterized in terms of generators and $\star$-polynomial relations. We explicitly work out deformations based on abelian or Jordanian twists of all quadrics in $\mathbb{R}^3$ except ellipsoids, in particular twisted cylinders embedded in twisted Euclidean $\mathbb{R}^3$ and twisted hyperboloids embedded in twisted Minkowski $\mathbb{R}^3$ [the latter are twisted (anti-)de Sitter spaces $dS_2$, $AdS_2$].

中文翻译：

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$\mathbb {R}^{n}$ 中的扭曲二次曲线和代数子流形

我们提出了一个通用程序来构造 $\mathbb{R}^n$ 的代数子流形 $M$ 的非交换变形，专门用于该过程 [G. Fiore, T. Weber, Twisted submanifolds of $\mathbb{R}^n$, arXiv:2003.03854] 对平滑子流形有效。我们使用 Aschieri 等人的扭曲微分几何框架。（Class. Quantum Grav. 23, 1883-1911, 2006），其中交换点积被由 Drinfel'd 扭曲确定的 $\star$-积取代。我们实际上同时构造了所有代数子流形 $M_c$ 的非交换变形，它们是 $f^a(x)$ 的水平集，其中 $f^a(x)=0$ 是由 $ 的点求解的多项式方程M$，采用基于李代数 $\Xi_t$ 的与所有 $M_c$ 相切的向量场的扭曲。扭曲嘉当演算在扭曲 $\Xi_t$ 下自动等变。如果我们赋予 $\mathbb{R}^n$ 一个度量，那么扭曲和投影到法线或切线分量交换，将 Levi-Civita 连接投影到扭曲的 $M$ 是一致的，特别是扭曲的高斯定理成立，前提是扭曲基于 Killing 向量场。扭曲代数二次方程可以用生成元和 $\star$-多项式关系来表征。我们明确地计算出基于 $\mathbb{R}^3$ 中所有二次曲面的阿贝尔或约旦扭曲的变形，除了椭球，特别是嵌入在扭曲欧几里得 $\mathbb{R}^3$ 中的扭曲圆柱体和嵌入在扭曲中的扭曲双曲面Minkowski $\mathbb{R}^3$ [后者是扭曲的（反）de Sitter 空间 $dS_2$, $AdS_2$]。如果我们赋予 $\mathbb{R}^n$ 一个度量，那么扭曲和投影到法线或切线分量交换，将 Levi-Civita 连接投影到扭曲的 $M$ 是一致的，特别是扭曲的高斯定理成立，前提是扭曲基于 Killing 向量场。扭曲代数二次方程可以用生成元和 $\star$-多项式关系来表征。我们明确地计算出基于 $\mathbb{R}^3$ 中所有二次曲面的阿贝尔或约旦扭曲的变形，除了椭球，特别是嵌入在扭曲欧几里得 $\mathbb{R}^3$ 中的扭曲圆柱体和嵌入在扭曲中的扭曲双曲面Minkowski $\mathbb{R}^3$ [后者是扭曲的（反）de Sitter 空间 $dS_2$, $AdS_2$]。如果我们赋予 $\mathbb{R}^n$ 一个度量，那么扭曲和投影到法线或切线分量交换，将 Levi-Civita 连接投影到扭曲的 $M$ 是一致的，特别是扭曲的高斯定理成立，前提是扭曲基于 Killing 向量场。扭曲代数二次方程可以用生成元和 $\star$-多项式关系来表征。我们明确地计算出基于 $\mathbb{R}^3$ 中所有二次曲面的阿贝尔或约旦扭曲的变形，除了椭球，特别是嵌入在扭曲欧几里得 $\mathbb{R}^3$ 中的扭曲圆柱体和嵌入在扭曲中的扭曲双曲面Minkowski $\mathbb{R}^3$ [后者是扭曲的（反）de Sitter 空间 $dS_2$, $AdS_2$]。将 Levi-Civita 连接投影到扭曲的 $M$ 是一致的，特别是扭曲的高斯定理成立，前提是扭曲基于 Killing 矢量场。扭曲代数二次方程可以用生成元和 $\star$-多项式关系来表征。我们明确地计算出基于 $\mathbb{R}^3$ 中所有二次曲面的阿贝尔或约旦扭曲的变形，除了椭球，特别是嵌入在扭曲欧几里得 $\mathbb{R}^3$ 中的扭曲圆柱体和嵌入在扭曲中的扭曲双曲面Minkowski $\mathbb{R}^3$ [后者是扭曲的（反）de Sitter 空间 $dS_2$, $AdS_2$]。将 Levi-Civita 连接投影到扭曲的 $M$ 是一致的，特别是扭曲的高斯定理成立，前提是扭曲基于 Killing 矢量场。扭曲代数二次方程可以用生成元和 $\star$-多项式关系来表征。我们明确地计算出基于 $\mathbb{R}^3$ 中所有二次曲面的阿贝尔或约旦扭曲的变形，除了椭球，特别是嵌入在扭曲欧几里得 $\mathbb{R}^3$ 中的扭曲圆柱体和嵌入在扭曲中的扭曲双曲面Minkowski $\mathbb{R}^3$ [后者是扭曲的（反）de Sitter 空间 $dS_2$, $AdS_2$]。扭曲代数二次方程可以用生成元和 $\star$-多项式关系来表征。我们明确地计算出基于 $\mathbb{R}^3$ 中所有二次曲面的阿贝尔或约旦扭曲的变形，除了椭球，特别是嵌入在扭曲欧几里得 $\mathbb{R}^3$ 中的扭曲圆柱体和嵌入在扭曲中的扭曲双曲面Minkowski $\mathbb{R}^3$ [后者是扭曲的（反）de Sitter 空间 $dS_2$, $AdS_2$]。扭曲代数二次方程可以用生成元和 $\star$-多项式关系来表征。我们明确地计算出基于 $\mathbb{R}^3$ 中所有二次曲面的阿贝尔或约旦扭曲的变形，除了椭球，特别是嵌入在扭曲欧几里得 $\mathbb{R}^3$ 中的扭曲圆柱体和嵌入在扭曲中的扭曲双曲面Minkowski $\mathbb{R}^3$ [后者是扭曲的（反）de Sitter 空间 $dS_2$, $AdS_2$]。