Problem 4.19 in Ziegler (Lectures on Polytopes. Graduate Texts in Mathematics, vol. 152. Springer, New York (1995)) asserts that every simple 3-dimensional polytope has the property that its dual can be constructed as the convex hull of points chosen from the facets of the original polytope. In this note we state a variant of this conjecture that requires the points to be a subset of the vertices of the original polytope, and provide a family of counterexamples for dimension \(d \ge 3\).

中文翻译：

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关于齐格勒猜想的一个简单多面体及其对偶的变体的反例

Ziegler的问题4.19（关于多面体的讲座。数学研究生课本，第152卷。纽约，Springer，1995年）断言，每个简单的3维多面体都具有可以将其对偶构造为所选点的凸包的特性。从原始多面体的方面来看。在此注释中，我们陈述了此猜想的一个变体，要求这些点是原始多面体的顶点的子集，并提供维\（d \ ge 3 \）的反例族。