This paper explores essence of the fractional ($0<s<1$) Hardy-Sobolev $L^1$-embedding${\Vert u\Vert }_{L^{\frac{n}{n-s}}}\lesssim {\Vert {\mathrm{\nabla }}_{+}^{s}u\Vert }_{L^1}+{\Vert {\mathrm{\nabla }}_{-}^{s}u\Vert }_{L^1}\text{for all}u\in I_s(C_c^{\infty }\cap H^1)$ via both capacity and duality based on the Riesz potential operator $I_s$ and the fractional differential couple ${\mathrm{\nabla }}_{\pm }^s$. Naturally, we discover that $f\in I_s\left({[{\mathring{H}}_{-}^{s,1}]}^{⁎}\right)$ if and only if there exists $\overrightarrow{g}=(g_1,...,g_n)\in {\left(L^{\infty }\right)}^n$ such that $f=\overrightarrow{R}\cdot \overrightarrow{g}={\sum }_{j=1}^n{R}_j{g}_j$ in the John-Nirenberg space BMO where $\overrightarrow{R}=(R_1,...,R_n)$ is the vector-valued Riesz transform - this equivalence characterizes $\overrightarrow{R}\cdot {\left(L^{\infty }\right)}^n$ in the Fefferman-Stein decomposition: $\mathrm{BMO}=L^{\infty }+\overrightarrow{R}\cdot {\left(L^{\infty }\right)}^n$ and indicates that $I_s\left({[{\mathring{H}}_{-}^{s,1}]}^{⁎}\right)$ is a solution to the Bourgain-Brezis problem under $n\ge 2$: “What are the function spaces $X,W^{1,n}\subset X\subset \mathrm{BMO}$, such that every $F\in X$ has a decomposition $F={\sum }_{j=1}^n{R}_j{Y}_j$ where $Y_j\in L^{\infty }$?”.

本文探讨了分数（$0<s<\mathrm{1个}$）哈迪-索伯列夫 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}$-嵌入${\Vert ü\Vert }_{{\mathrm{大号}}^{\frac{ñ}{ñ-s}}}\lesssim {\Vert {\mathrm{\nabla }}_{+}^sü\Vert }_{{\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}}+{\Vert {\mathrm{\nabla }}_{-}^sü\Vert }_{{\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}}\text{对所有人}ü\in {\mathrm{一世}}_s（C_C^{\infty }\cap H^{\mathrm{1个}}）$ 通过容量和对偶性基于Riesz势算子 ${\mathrm{一世}}_s$ 和分数微分对 ${\mathrm{\nabla }}_{\pm }^s$。自然地，我们发现$F\in {\mathrm{一世}}_s（{[{\mathring{H}}_{-}^{s，\mathrm{1个}}]}^{⁎}）$ 当且仅当存在时 $\overrightarrow{G}=（G_{\mathrm{1个}}，。。。，G_{ñ}）\in {（{\mathrm{大号}}^{\infty }）}^{ñ}$ 这样 $F=\overrightarrow{\mathrm{[R}}\cdot \overrightarrow{G}={\sum }_{Ĵ=\mathrm{1个}}^{ñ}{\mathrm{[R}}_{Ĵ}{G}_{Ĵ}$ 在约翰·尼伦伯格空间BMO中 $\overrightarrow{\mathrm{[R}}=（{\mathrm{[R}}_{\mathrm{1个}}，。。。，{\mathrm{[R}}_{ñ}）$ 是向量值的Riesz变换-这种等效性表征 $\overrightarrow{\mathrm{[R}}\cdot {（{\mathrm{大号}}^{\infty }）}^{ñ}$ 在Fefferman-Stein分解中： $\mathrm{BMO}={\mathrm{大号}}^{\infty }+\overrightarrow{\mathrm{[R}}\cdot {（{\mathrm{大号}}^{\infty }）}^{ñ}$ 并指出 ${\mathrm{一世}}_s（{[{\mathring{H}}_{-}^{s，\mathrm{1个}}]}^{⁎}）$ 是Bourgain-Brezis问题的解决方案 $ñ\ge 2$：“函数空间是什么 $X，{\mathrm{w\; ^}}^{\mathrm{1个}，ñ}\subset X\subset \mathrm{BMO}$，这样每个 $F\in X$ 有分解 $F={\sum }_{Ĵ=\mathrm{1个}}^{ñ}{\mathrm{[R}}_{Ĵ}{ÿ}_{Ĵ}$ 哪里 ${ÿ}_{Ĵ}\in {\mathrm{大号}}^{\infty }$？”。