Let $N$ and $p$ be primes such that $p$ divides the numerator of $\frac{N-1}{12}$. In this paper, we study the rank $g_p$ of the completion of the Hecke algebra acting on cuspidal modular forms of weight $2$ and level $\Gamma_0(N)$ at the $p$-maximal Eisenstein ideal. We give in particular an explicit criterion to know if $g_p \geq 3$, thus answering partially a question of Mazur. In order to study $g_p$, we develop the theory of \textit{higher Eisenstein elements}, and compute the first few such elements in four different Hecke modules. This has applications such as generalizations of the Eichler mass formula in characteristic $p$.

中文翻译：

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更高的爱森斯坦元素、更高的艾克勒公式和赫克代数的秩

令 $N$ 和 $p$ 为质数，使得 $p$ 除以 $\frac{N-1}{12}$ 的分子。在本文中，我们研究了 Hecke 代数在 $p$-最大爱森斯坦理想下作用于权重 $2$ 和水平 $\Gamma_0(N)$ 的尖点模形式的完备性的秩 $g_p$。我们特别给出了一个明确的标准来知道是否 $g_p \geq 3$，从而部分回答了 Mazur 的问题。为了研究 $g_p$，我们开发了 \textit{higher Eisenstein elements} 的理论，并在四个不同的 Hecke 模块中计算前几个这样的元素。这有一些应用，例如在特征 $p$ 中推广 Eichler 质量公式。