SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, Volume 19, Issue 4, Page 2286-2321, January 2020.
In this paper, we consider a class of quasi-periodically forced reversible systems, obtained as perturbations of a set of harmonic oscillators, and study Stoker's problem (the existence of response solutions) of such systems in the case of Liouvillean frequency. This is based on a finite dimensional Kolmogorov--Arnold--Moser (KAM) theory for quasi-periodically forced reversible systems with multidimensional Liouvillean frequency. As we know, the results existing in the literature deal with two-dimensional frequency and exploit the theory of continued fractions to control the small divisor problem. The results in this paper partially extend the analysis to higher-dimensional frequency and impose a nonresonance condition weaker than the Brjuno condition, thus allowing a class of Liouvillean frequencies. The main idea in KAM theory is to perform a first normal form reduction, in which the nonresonance condition is required to solve the homological equation, and then to impose further Melnikov conditions on the small divisors by discarding some values of the parameters $\lambda$, the proper frequency of the unperturbed oscillator. The overall strategy of this paper comes from the literature [H. Cheng, W. Si, and J. Si, J. Dynam. Differential Equations, 32 (2020), pp. 705--739], but the method is still in the spirit of Hou and You [Invent. Math., 190 (2012), pp. 209--260], which, however, has to be substantially developed to deal with the equations considered here.

中文翻译：

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具有多维Liouvillean频率的准周期可逆系统的Stoker问题

SIAM应用动力系统杂志，第19卷，第4期，第2286-2321页，2020年1月。
在本文中，我们考虑了一类准周期强迫可逆系统，该系统是作为一组谐波振荡器的扰动而获得的，并研究了在Liouvillean频率情况下此类系统的Stoker问题（响应解的存在）。这基于有限维Kolmogorov-Arnold-Moser（KAM）理论，用于准周期性强迫可逆系统的多维Liouvillean频率。众所周知，文献中存在的结果涉及二维频率，并利用连续分数的理论来控制小除数问题。本文的结果部分地将分析扩展到了高维频率，并施加了一个比Brjuno条件弱的非共振条件，从而允许了一类Liouvillean频率。KAM理论的主要思想是执行第一范式归约，其中需要非共振条件来求解齐次方程，然后通过丢弃参数$ \ lambda $的一些值在小除数上施加进一步的Melnikov条件。 ，无干扰振荡器的正确频率。本文的整体策略来自文献[H．Cheng，W。Si和J. Si，J。Dynam。微分方程，32（2020），pp.705--739]，但该方法仍然符合Hou和You的精神[Invent。Math。，190（2012），pp。209--260]，但是，为了处理此处考虑的方程式，必须对其进行实质性发展。然后通过舍弃参数$ \ lambda $的某些值（无扰动振荡器的适当频率），在小除数上施加进一步的Melnikov条件。本文的整体策略来自文献[H．Cheng，W。Si和J. Si，J。Dynam。微分方程，32（2020），pp.705--739]，但该方法仍然符合Hou和You的精神[Invent。Math。，190（2012），pp。209--260]，但是，为了处理此处考虑的方程式，必须对其进行实质性发展。然后通过舍弃参数$ \ lambda $的某些值（无扰动振荡器的适当频率），在小除数上施加进一步的Melnikov条件。本文的整体策略来自文献[H．Cheng，W。Si和J. Si，J。Dynam。微分方程，32（2020），pp.705--739]，但该方法仍然符合Hou和You的精神[Invent。Math。，190（2012），pp。209--260]，但是，为了处理此处考虑的方程式，必须对其进行实质性发展。