In this paper, we study compact generalized $$\tau $$ -quasi Ricci-harmonic metrics. In the first part, we explore conditions under which generalized $$\tau $$ -quasi Ricci-harmonic metrics are harmonic-Einstein and give some characterization results for this case. In the second part, we obtain some rigidity results for compact $$(\tau , \rho )$$ -quasi Ricci-harmonic metrics which are a special case of generalized $$\tau $$ -quasi Ricci-harmonic metrics. In the third part, we give two gap theorems for compact $$\tau $$ -quasi Ricci-harmonic metrics by showing some necessary and sufficient conditions for the metrics to be harmonic-Einstein.

中文翻译：

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广义 $$\tau $$-准 Ricci-Harmonic 度量的刚性属性

在本文中，我们研究了紧凑的广义 $$\tau $$ -quasi Ricci-harmonic 度量。在第一部分，我们探讨了广义 $$\tau $$ -quasi Ricci-harmonic 度量是谐波爱因斯坦的条件，并给出了这种情况下的一些表征结果。在第二部分，我们获得了紧凑 $$(\tau , \rho )$$ -quasi Ricci-harmonic 度量的一些刚性结果，这是广义 $$\tau $$ -quasi Ricci-harmonic 度量的一个特例。在第三部分中，我们给出了紧凑的 $$\tau $$ -quasi Ricci-harmonic 度量的两个间隙定理，通过展示度量是谐波爱因斯坦的一些必要和充分条件。