Given a sequence of independent standard Gaussian variables (Zn), the classical Pisier algebra P is the class of all continuous functions f on the unit circle T such that for each t ∈ 𝕋, the random Fourier series $$ {\sum}_{n\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{Z}_n\hat{f}(n)\times \exp \left(2\pi \mathrm{i} nt\right) $$ converges in L2 and the corresponding sums constitute a Gaussian process that admits a continuous version. It was constructed by Pisier in 1979 to answer a long-standing question raised by Katznelson. In this paper, we consider the general random Fourier series $$ {\sum}_{n\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{Z}_n\hat{f}(n)\times \exp \left(2\pi \mathrm{i} nt\right) $$ where ξ = (ξn) is a discrete Gaussian process of standard Gaussian random variables but with the restriction of independence relaxed and study the corresponding class P(ξ) of continuous functions f on 𝕋. We obtain sufficient conditions (based on some spectral properties of the covariance matrix of (ξn)) for each of the relations 𝒫 ⊂ (ξ), 𝒫(ξ) ⊂ 𝒫, and 𝒫 = 𝒫(ξ). We illustrate these results by the classical fractional Gaussian noise. Whether in general (ξ) is also a Banach algebra is an open problem.

中文翻译：

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具有相关随机变量的随机傅立叶级数

给定一系列独立的标准高斯变量 (Zn)，经典 Pisier 代数 P 是单位圆 T 上所有连续函数 f 的类，使得对于每个 t ∈ 𝕋，随机傅立叶级数 $$ {\sum}_{ n\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{Z}_n\hat{f}(n)\times \exp \left(2\pi \mathrm{i} nt\right) $$ 收敛于 L2 和相应的和构成了一个允许连续版本的高斯过程。它由 Pisier 于 1979 年建造，以回答 Katznelson 提出的一个长期存在的问题。在本文中，我们考虑一般随机傅立叶级数 $$ {\sum}_{n\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{Z}_n\hat{f}(n)\times \exp \left(2\pi \mathrm{i} nt\right) $$ 其中 ξ = (ξn) 是标准高斯随机变量的离散高斯过程，但放宽了独立性的限制，研究了 𝕋 上连续函数 f 的对应类 P(ξ)。我们为每个关系 𝒫 ⊂ (ξ)、𝒫(ξ) ⊂ 𝒫 和 𝒫 = 𝒫(ξ) 获得了充分条件（基于 (ξn) 的协方差矩阵的一些谱属性）。我们通过经典分数高斯噪声来说明这些结果。一般而言 (ξ) 是否也是巴拿赫代数是一个悬而未决的问题。我们通过经典分数高斯噪声来说明这些结果。一般而言 (ξ) 是否也是巴拿赫代数是一个悬而未决的问题。我们通过经典分数高斯噪声来说明这些结果。一般而言 (ξ) 是否也是巴拿赫代数是一个悬而未决的问题。