The main focus of this paper is the following matrix Cauchy problem for the Dirac system on the interval [0,1]: $$D'(x)+\begin{2bmatrix} 0 & \sigma_1(x)\\ \sigma_2(x) & 0 \end{2bmatrix} D(x)=i\mu\begin{2bmatrix} 1 & 0\\ 0 &-1 \end{2bmatrix}D(x),\quad D(0)=\begin{2bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{2bmatrix},$$ where $\mu\in\mathbb{C}$ is a spectral parameter, and $\sigma_j\in L_2[0,1]$, $j=1,2$. We propose a new approach for the study of asymptotic behaviour of its solutions as $\mu\to \infty$ and $| \mathrm {Im} \;\mu | \le d$. As an application, we obtain new, sharp asymptotic formulas for eigenfunctions of Sturm–Liouville operators with singular potentials.

中文翻译：

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Dirac系统解的渐近行为及其对奇异势Sturm-Liouville问题的应用

本文的主要焦点是区间[0,1]上Dirac系统的以下矩阵柯西问题：$$ D'（x）+ \ begin {2bmatrix} 0＆\ sigma_1（x）\\ \ sigma_2（ x）＆0 \ end {2bmatrix} D（x）= i \ mu \ begin {2bmatrix} 1＆0 \\ 0＆-1 \ end {2bmatrix} D（x），\ quad D（0）= \ begin {2bmatrix} 1＆0 \\ 0＆1 \ end {2bmatrix}，$$，其中$ \ mu \ in \ mathbb {C} $是频谱参数，$ \ sigma_j \ in L_2 [0,1] $， $ j = 1,2 $。我们提出了一种新的方法来研究其解的渐近行为，如$ \ mu \ to \ infty $和$ |。\ mathrm {Im} \; \ mu | \ le d $。作为一种应用，我们获得了具有奇异势的Sturm-Liouville算子的本征函数的新的，尖锐的渐近公式。