Let $\Gamma_n(\mathcal{\scriptstyle{O}}_\mathbb{K})$ denote the Hermitian modular group of degree $n$ over an imaginary-quadratic number field $\mathbb{K}$. In this paper we determine its maximal discrete extension in $SU(n,n;\mathbb{C})$, which coincides with the normalizer of $\Gamma_n(\mathcal{\scriptstyle{O}}_{\mathbb{K}})$. The description involves the $n$-torsion subgroup of the ideal class group of $\mathbb{K}$. This group is defined over a particular number field $\widehat{\mathbb{K}}_n$ and we can describe the ramified primes in it. In the case $n=2$ we give an explicit description, which involves generalized Atkin-Lehner involutions. Moreover we find a natural characterization of this group in $SO(2,4)$.

中文翻译：

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Hermitian 模群最大离散扩展作用下的 Hermitian Theta 级数和 Maaß 空间

令 $\Gamma_n(\mathcal{\scriptstyle{O}}_\mathbb{K})$ 表示在虚二次数域 $\mathbb{K}$ 上的度数 $n$ 的厄米模群。在本文中，我们确定其在 $SU(n,n;\mathbb{C})$ 中的最大离散扩展，这与 $\Gamma_n(\mathcal{\scriptstyle{O}}_{\mathbb{K }})$。描述涉及 $\mathbb{K}$ 理想类群的 $n$-torsion 子群。这个群定义在一个特定的数字域 $\widehat{\mathbb{K}}_n$ 上，我们可以描述其中的分枝素数。在 $n=2$ 的情况下，我们给出了一个明确的描述，它涉及广义的 Atkin-Lehner 对合。此外，我们在 $SO(2,4)$ 中发现了该组的自然特征。