We study the statistics of last-passage time for linear diffusions. First we present an elementary derivation of the Laplace transform of the probability density of the last-passage time, thus recovering known results from the mathematical literature. We then illustrate them on several explicit examples. In a second step we study the spectral properties of the Schrodinger operator associated to such diffusions in an even potential $$U(x) = U(-x)$$ , unveiling the role played by the so-called Weyl coefficient. Indeed, in this case, our approach allows us to relate the last-passage times for dual diffusions (i.e., diffusions driven by opposite force fields) and to obtain new explicit formulae for the mean last-passage time. We further show that, for such even potentials, the small time t expansion of the mean last-passage time on the interval [0, t] involves the Korteveg–de Vries invariants, which are well known in the theory of Schrodinger operators. Finally, we apply these results to study the emptying time of a one-dimensional box, of size L, containing N independent Brownian particles subjected to a constant drift. In the scaling limit where both $$N \rightarrow \infty $$ and $$L \rightarrow \infty $$ , keeping the density $$\rho = N/L$$ fixed, we show that the limiting density of the emptying time is given by a Gumbel distribution. Our analysis provides a new example of the applications of extreme value statistics to out-of-equilibrium systems.

中文翻译：

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线性扩散的最后通过时间及其在空箱时间中的应用

我们研究了线性扩散的最后通过时间的统计数据。首先，我们提出了最后一次时间概率密度的拉普拉斯变换的基本推导，从而从数学文献中恢复了已知结果。然后我们用几个明确的例子来说明它们。在第二步中，我们研究了与这种扩散相关的薛定谔算子的光谱特性，在偶数势 $$U(x) = U(-x)$$ 中，揭示了所谓的 Weyl 系数所扮演的角色。事实上，在这种情况下，我们的方法允许我们将双扩散（即由相反力场驱动的扩散）的最后通过时间联系起来，并获得平均最后通过时间的新明确公式。我们进一步表明，对于这样的偶势，在区间 [0, t] 涉及在薛定谔算子理论中众所周知的 Korteveg-de Vries 不变量。最后，我们应用这些结果来研究大小为 L 的一维盒子的排空时间，该盒子包含 N 个独立的布朗粒子，这些粒子受到恒定漂移的影响。在 $$N \rightarrow \infty $$ 和 $$L \rightarrow \infty $$ 的缩放极限中，保持密度 $$\rho = N/L$$ 固​​定，我们表明排空的极限密度时间由 Gumbel 分布给出。我们的分析提供了一个将极值统计应用于非平衡系统的新示例。包含 N 个独立的布朗粒子受到恒定漂移的影响。在 $$N \rightarrow \infty $$ 和 $$L \rightarrow \infty $$ 的缩放极限中，保持密度 $$\rho = N/L$$ 固​​定，我们表明排空的极限密度时间由 Gumbel 分布给出。我们的分析提供了一个将极值统计应用于非平衡系统的新示例。包含 N 个独立的布朗粒子受到恒定漂移的影响。在 $$N \rightarrow \infty $$ 和 $$L \rightarrow \infty $$ 的缩放极限中，保持密度 $$\rho = N/L$$ 固​​定，我们表明排空的极限密度时间由 Gumbel 分布给出。我们的分析提供了一个将极值统计应用于非平衡系统的新示例。