Abstract Let ℛ {\mathcal{R}} be a finite valuation ring of order q r {q^{r}} . In this paper, we prove that for any quadratic polynomial f ⁢ ( x , y , z ) ∈ ℛ ⁢ [ x , y , z ] {f(x,y,z)\in\mathcal{R}[x,y,z]} that is of the form a ⁢ x ⁢ y + R ⁢ ( x ) + S ⁢ ( y ) + T ⁢ ( z ) {axy+R(x)+S(y)+T(z)} for some one-variable polynomials R , S , T {R,S,T} , we have | f ⁢ ( A , B , C ) | ≫ min ⁡ { q r , | A | ⁢ | B | ⁢ | C | q 2 ⁢ r - 1 } |f(A,B,C)|\gg\min\biggl{\{}q^{r},\frac{|A||B||C|}{q^{2r-1}}\bigg{\}} for any A , B , C ⊂ ℛ {A,B,C\subset\mathcal{R}} . We also study the sum-product type problems over finite valuation ring ℛ {\mathcal{R}} . More precisely, we show that for any A ⊂ ℛ {A\subset\mathcal{R}} with | A | ≫ q r - 1 3 {|A|\gg q^{r-\frac{1}{3}}} then max ⁡ { | A ⁢ A | , | A d + A d | } {\max\{|AA|,|A^{d}+A^{d}|\}} , max ⁡ { | A + A | , | A 2 + A 2 | } {\max\{|A+A|,|A^{2}+A^{2}|\}} , max ⁡ { | A - A | , | A ⁢ A + A ⁢ A | } ≫ | A | 2 3 ⁢ q r 3 {\max\{|A-A|,|AA+AA|\}\gg|A|^{\frac{2}{3}}q^{\frac{r}{3}}} , and | f ⁢ ( A ) + A | ≫ | A | 2 3 ⁢ q r 3 {|f(A)+A|\gg|A|^{\frac{2}{3}}q^{\frac{r}{3}}} for any one variable quadratic polynomial f.

中文翻译：

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关于有限估值环上的三变量扩展器

摘要 令 ℛ {\mathcal{R}} 是阶 qr {q^{r}} 的有限估价环。在本文中，我们证明对于任何二次多项式 f ⁢ ( x , y , z ) ∈ ℛ ⁢ [ x , y , z ] {f(x,y,z)\in\mathcal{R}[x,y ,z]} 的形式为 a ⁢ x ⁢ y + R ⁢ ( x ) + S ⁢ ( y ) + T ⁢ ( z ) {axy+R(x)+S(y)+T(z)}对于一些单变量多项式 R , S , T {R,S,T} ，我们有 | f ⁢ ( A , B , C ) | ≫ min ⁡ { qr , | 一个 | ⁢ | 乙 | ⁢ | C | q 2 ⁢ r - 1 } |f(A,B,C)|\gg\min\biggl{\{}q^{r},\frac{|A||B||C|}{q^{ 2r-1}}\bigg{\}} 对于任何 A , B , C ⊂ ℛ {A,B,C\subset\mathcal{R}} 。我们还研究了有限估值环 ℛ {\mathcal{R}} 上的和积类型问题。更准确地说，我们证明对于任何 A ⊂ ℛ {A\subset\mathcal{R}} 与 | 一个 | ≫ qr - 1 3 {|A|\gg q^{r-\frac{1}{3}}} 然后 max ⁡ { | A ⁢ A | , | A d + A d | } {\max\{|AA|,|A^{d}+A^{d}|\}} , max ⁡ { | A + A | , | A 2 + A 2 | } {\max\{|A+A|,|A^{2}+A^{2}|\}} , max ⁡ { | A - A | , | A ⁢ A + A ⁢ A | } ≫ | 一个 | 2 3 ⁢ qr 3 {\max\{|AA|,|AA+AA|\}\gg|A|^{\frac{2}{3}}q^{\frac{r}{3}}} ，和 | f ⁢ ( A ) + A | ≫ | 一个 | 2 3 ⁢ qr 3 {|f(A)+A|\gg|A|^{\frac{2}{3}}q^{\frac{r}{3}}} 对于任何一个变量二次多项式 f .