We investigate extremal properties of shape functionals which are products of Newtonian capacity $\mathrm{cap}(\overline{\mathrm{\Omega }})$, and powers of the torsional rigidity $T(\mathrm{\Omega })$, for an open set $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^d$ with compact closure $\overline{\mathrm{\Omega }}$, and prescribed Lebesgue measure. It is shown that if $\mathrm{\Omega }$ is convex, then $\mathrm{cap}(\overline{\mathrm{\Omega }})T^q(\mathrm{\Omega })$ is (i) bounded from above if and only if $q⩾1$, and (ii) bounded from below and away from 0 if and only if $q⩽\frac{d-2}{2(d-1)}$. Moreover a convex maximiser for the product exists if either $q>1$, or $d=3$ and $q=1$. A convex minimiser exists for $q<\frac{d-2}{2(d-1)}$. If $q⩽0$, then the product is minimised among all bounded sets by a ball of measure 1.

中文翻译：

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关于承载力和抗扭刚度

我们调查形状函数的极端性质，这是牛顿能力的产物 $\mathrm{帽}（\overline{\mathrm{\Omega }}）$以及抗扭刚度的力量 $Ť（\mathrm{\Omega }）$，开放式 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{[R}}^d$ 紧凑型封闭 $\overline{\mathrm{\Omega }}$，并规定了勒贝格措施。表明，如果$\mathrm{\Omega }$ 是凸的，那么 $\mathrm{帽}（\overline{\mathrm{\Omega }}）{Ť}^q（\mathrm{\Omega }）$ 当且仅当（i）从上方受限制 $q⩾\mathrm{1个}$，并且（ii）当且仅当以下情况时，才从下方并远离0 $q⩽\frac{d-\mathrm{2个}}{\mathrm{2个}（d-\mathrm{1个}）}$。此外，如果存在以下任一情况，则存在该产品的凸最大化$q>\mathrm{1个}$， 或者 $d=3$ 和 $q=\mathrm{1个}$。存在一个凸极小值$q<\frac{d-\mathrm{2个}}{\mathrm{2个}（d-\mathrm{1个}）}$。如果$q⩽0$，则通过测量球1将所有有界集合中的乘积最小化。