For $x\in \mathbb{R}$, let $M(P,\delta )$ be the measure $m\{x:|P^{\prime }(x)/(nP(x))|⩾\delta \}$ ( $\delta >0$), where $P$ is an arbitrary polynomial of positive degree $n$. We prove that ${sup}_{Q}M(Q,\delta )=\pi /\delta$ in the class of all real polynomials $Q$. As a corollary, we obtain the estimate of the derivative of a rational function, improving the known results of Gonchar and Dolzhenko, and prove that the inequality $m\{x:r^{\prime }(x)/r(x)⩾n\}⩽2\pi$ ( $r$ is any real rational function of degree $n$), conjectured by Borwein, Rakhmanov and Saff, is valid, at the least, for even and for odd functions $r$.

中文翻译：

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实多项式的度量属性

为了 $X\in \mathbb{[R}$， 让 $\mathrm{中号}（P，\delta ）$ 衡量 $米\{X：|P^{\prime }（X）/（ñP（X））|⩾\delta \}$ （ $\delta >0$）， 在哪里 $P$ 是正次数的任意多项式 $ñ$。我们证明${SUP}_{问}\mathrm{中号}（问，\delta ）=\pi /\delta$ 在所有实多项式的类中 $问$。作为推论，我们获得了有理函数导数的估计，改进了Gonchar和Dolzhenko的已知结果，并证明了不等式$米\{X：{\mathrm{[R}}^{\prime }（X）/\mathrm{[R}（X）⩾ñ\}⩽\mathrm{2个}\pi$ （ $\mathrm{[R}$ 是度的任何真正的有理函数 $ñ$），由Borwein，Rakhmanov和Saff推测，至少对于偶数和奇数函数有效 $\mathrm{[R}$。