We study Borel homomorphisms $\theta :G\to H$ for arbitrary locally compact second countable groups $G$ and $H$ for which the measure

$${\theta }_{\ast }(\mu )(\alpha )=\mu ({\theta }^{-1}(\alpha ))\text{for}\alpha \subseteq H\mathrm{a}\text{Borel}\text{set}$$

is absolutely continuous with respect to $\nu$, where $\mu$ (respectively, $\nu$) is a Haar measure for $G$, (respectively, $H$). We define a natural mapping $\mathcal{G}$ from the class of maximal abelian selfadjoint algebra bimodules (masa bimodules) in $B(L^2(H))$ into the class of masa bimodules in $B(L^2(G))$ and we use it to prove that if $k\subseteq G\times G$ is a set of operator synthesis, then ${(\theta \times \theta )}^{-1}(k)$ is also a set of operator synthesis and if $E\subseteq H$ is a set of local synthesis for the Fourier algebra $A(H)$, then ${\theta }^{-1}(E)\subseteq G$ is a set of local synthesis for $A(G)$. We also prove that if ${\theta }^{-1}(E)$ is an $M$‐set (respectively, $M_1$‐set), then $E$ is an $M$‐set (respectively, $M_1$‐set) and if $\text{Bim}(I^{\perp })$ is the masa bimodule generated by the annihilator of the ideal $I$ in $VN(G)$, then there exists an ideal $J$ such that $\mathcal{G}(\text{Bim}(I^{\perp }))=\text{Bim}(J^{\perp })$. If this ideal $J$ is an ideal of multiplicity, then $I$ is an ideal of multiplicity. In case ${\theta }_{\ast }(\mu )$ is a Haar measure for $\theta (G)$, we show that $J$ is equal to the ideal ${\rho }_{\ast }(I)$ generated by $\rho (I)$, where $\rho (u)=u\circ \theta ,\forall u\in I$.

中文翻译：

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群同态的合成与转移性质

我们研究Borel同态 $\theta ：G\to H$ 用于任意局部紧凑的第二可数组 $G$ 和 $H$ 为此采取的措施

$${\theta }_{\ast }（\mu ）（\alpha ）=\mu （{\theta }^{-\mathrm{1个}}（\alpha ））\text{对于}\alpha \subseteq H\mathrm{一个}\text{博雷尔}\text{组}$$

关于...绝对连续 $\nu$，在哪里 $\mu$ （分别， $\nu$）是Haar的度量 $G$， （分别， $H$）。我们定义一个自然映射$\mathcal{G}$ 来自最大阿贝尔自伴代数双模（masa双模）的类 $乙（{\mathrm{大号}}^2（H））$ 进入马萨双模 $乙（{\mathrm{大号}}^2（G））$ 我们用它来证明 $ķ\subseteq G\times G$ 是一组运算符综合，然后 ${（\theta \times \theta ）}^{-\mathrm{1个}}（ķ）$ 也是一组运算符综合，如果 $Ë\subseteq H$ 是傅立叶代数的局部合成 $\mathrm{一个}（H）$， 然后 ${\theta }^{-\mathrm{1个}}（Ë）\subseteq G$ 是针对 $\mathrm{一个}（G）$。我们还证明，如果${\theta }^{-\mathrm{1个}}（Ë）$ 是一个 $\mathrm{中号}$设置（分别 ${\mathrm{中号}}_{\mathrm{1个}}$设置），然后 $Ë$ 是一个 $\mathrm{中号}$设置（分别 ${\mathrm{中号}}_{\mathrm{1个}}$设置），如果 $\text{比姆}（{\mathrm{一世}}^{\perp }）$ 是由理想的an灭者生成的masa双模 $\mathrm{一世}$ 在 $Vñ（G）$，那么就存在一个理想 $Ĵ$ 这样 $\mathcal{G}（\text{比姆}（{\mathrm{一世}}^{\perp }））=\text{比姆}（{Ĵ}^{\perp }）$。如果这个理想$Ĵ$ 是多重理想，然后 $\mathrm{一世}$是多元化的理想。以防万一${\theta }_{\ast }（\mu ）$ 是Haar的一项措施 $\theta （G）$，我们证明 $Ĵ$ 等于理想 ${\rho }_{\ast }（\mathrm{一世}）$ 由...产生 $\rho （\mathrm{一世}）$，在哪里 $\rho （ü）=ü\circ \theta ，\forall ü\in \mathrm{一世}$。