In this paper we introduce the prime index function

$$\iota \left( n \right) = {\left( { - 1} \right)^{\pi \left( n \right)}},$$

where π(n) is the prime counting function. We study some elementary properties and theories associated with the partial sums of this function given by

$$\xi \left( x \right): = \sum\limits_{n \le x} {\iota \left( n \right).} $$

中文翻译：

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素数指数函数

在本文中，我们介绍了素数索引函数

$$ \ iota \ left（n \ right）= {\ left（{-1} \ right）^ {\ pi \ left（n \ right）}}，$$

其中π（n）是素数计数函数。我们研究与该函数的部分和有关的一些基本性质和理论

$$ \ xi \ left（x \ right）：= \ sum \ limits_ {n \ le x} {\ iota \ left（n \ right）。} $$