A two-dimensional chiral conformal field theory can be viewed mathematically as the representation theory of its chiral algebra, a vertex operator algebra. Vertex operator algebras are especially well suited for studying logarithmic conformal field theory (in which correlation functions have logarithmic singularities arising from non-semisimple modules for the chiral algebra) because of the logarithmic tensor category theory of Huang, Lepowsky, and Zhang. In this paper, we study not-necessarily-semisimple or rigid braided tensor categories $\mathcal{C}$ of modules for the fixed-point vertex operator subalgebra $V^G$ of a vertex operator (super)algebra $V$ with finite automorphism group $G$. The main results are that every $V^G$-module in $\mathcal{C}$ with a unital and associative $V$-action is a direct sum of $g$-twisted $V$-modules for possibly several $g\in G$, that the category of all such twisted $V$-modules is a braided $G$-crossed (super)category, and that the $G$-equivariantization of this braided $G$-crossed (super)category is braided tensor equivalent to the original category $\mathcal{C}$ of $V^G$-modules. This generalizes results of Kirillov and M\"{u}ger proved using rigidity and semisimplicity. We also apply the main results to the orbifold rationality problem: whether $V^G$ is strongly rational if $V$ is strongly rational. We show that $V^G$ is indeed strongly rational if $V$ is strongly rational, $G$ is any finite automorphism group, and $V^G$ is $C_2$-cofinite.

中文翻译：

---

对数共形场理论中的扭曲模和 G 等变

二维手征保形场论在数学上可以看作是其手征代数的表示理论，顶点算子代数。由于 Huang、Lepowsky 和 ​​Zhang 的对数张量范畴论，顶点算子代数特别适合研究对数共形场论（其中相关函数具有由手征代数的非半简单模产生的对数奇点）。在本文中，我们研究了顶点算子（超）代数 $V$ 的定点顶点算子子代数 $V^G$ 的模块的不必要的半简单或刚性编织张量类别 $\mathcal{C}$有限自同构群$G$。主要结果是 $\mathcal{C}$ 中的每一个 $V^G$-module 与一个单位和关联的 $V$-action 是 $g$-twisted $V$-modules 的直接和，可能有几个 $ g\in G$，所有这些扭曲的 $V$-modules 的类别是一个编织的 $G$-crossed（super）类别，并且这个编织的 $G$-crossed（super）的 $G$-equivariantization category 是相当于 $V^G$-modules 的原始类别 $\mathcal{C}$ 的编织张量。这概括了 Kirillov 和 M\"{u}ger 使用刚性和半简单性证明的结果。我们还将主要结果应用于 orbifold 理性问题：如果 $V$ 是强有理的，则 $V^G$ 是否是强有理的。我们证明如果 $V$ 是强有理的，$G$ 是任何有限自同构群，并且 $V^G$ 是 $C_2$-余有限，那么 $V^G$ 确实是强有理的。所有这些扭曲的 $V$-modules 的类别是一个编织的 $G$-crossed (super)category，并且这个编织的 $G$-crossed (super)category 的 $G$-equivariantization 是编织张量等价于$V^G$-modules 的原始类别 $\mathcal{C}$。这概括了 Kirillov 和 M\"{u}ger 使用刚性和半简单性证明的结果。我们还将主要结果应用于 orbifold 理性问题：如果 $V$ 是强有理的，则 $V^G$ 是否是强有理的。我们证明如果 $V$ 是强有理的，$G$ 是任何有限自同构群，并且 $V^G$ 是 $C_2$-余有限，那么 $V^G$ 确实是强有理的。所有这些扭曲的 $V$-modules 的类别是一个编织的 $G$-crossed (super)category，并且这个编织的 $G$-crossed (super)category 的 $G$-equivariantization 是编织张量等价于$V^G$-modules 的原始类别 $\mathcal{C}$。这概括了 Kirillov 和 M\"{u}ger 使用刚性和半简单性证明的结果。我们还将主要结果应用于 orbifold 理性问题：如果 $V$ 是强有理的，则 $V^G$ 是否是强有理的。我们证明如果 $V$ 是强有理的，$G$ 是任何有限自同构群，并且 $V^G$ 是 $C_2$-余有限，那么 $V^G$ 确实是强有理的。