It is not common in applied sciences to realize simulations which depict fractal representation in attractors’ dynamics, the reason being a combination of many factors including the nature of the phenomenon that is described and the type of differential operator used in the system. In this work, we use the fractal-fractional derivative with a fractional order to analyze the modified proto-Lorenz system that is usually characterized by chaotic attractors with many scrolls. The fractal-fractional operator used in this paper is a combination of fractal process and fractional differentiation, which is a relatively new concept with most of the properties and features still to be known. We start by summarizing the basic notions related to the fractal-fractional operator. After that, we enumerate the main points related to the establishment of proto-Lorenz system’s equations, leading to the [Formula: see text]th cover of the proto-Lorenz system that contains [Formula: see text] scrolls ([Formula: see text]). The triple and quadric cover of the resulting fractal and fractional proto-Lorenz system are solved using the Haar wavelet methods and numerical simulations are performed. Due to the impact of the fractal-fractional operator, the system is able to maintain its chaotic state of attractor with many scrolls. Additionally, such attractor can self-replicate in a fractal process as the derivative order changes. This result reveals another great feature of the fractal-fractional derivative with fractional order.

中文翻译：

---

混沌分形和分形结构中的原洛伦兹系统

在应用科学中实现描述吸引子动力学中的分形表示的模拟并不常见，原因是许多因素的组合，包括所描述现象的性质和系统中使用的微分算子的类型。在这项工作中，我们使用具有分数阶的分形分数导数来分析修改后的原洛伦兹系统，该系统通常以具有许多卷轴的混沌吸引子为特征。本文使用的分形-分数算子是分形过程和分数微分的结合，是一个相对较新的概念，其大部分性质和特征仍有待了解。我们首先总结与分形分数算子相关的基本概念。在那之后，我们列举了与建立原始洛伦兹系统方程有关的要点，导致了原始洛伦兹系统的第[公式：参见文本]封面，其中包含[公式：参见文本]卷轴（[公式：参见文本]） . 使用 Haar 小波方法求解所得分形和分数原洛伦兹系统的三次和二次覆盖，并进行数值模拟。由于分形-分数算子的影响，系统能够保持其吸引子的混沌状态，具有许多卷轴。此外，随着导数顺序的变化，这种吸引子可以在分形过程中自我复制。这一结果揭示了分数阶分形分数导数的另一个重要特征。见文本] 滚动（[公式：见文本]）。使用 Haar 小波方法求解所得分形和分数原洛伦兹系统的三次和二次覆盖，并进行数值模拟。由于分形-分数算子的影响，系统能够保持其吸引子的混沌状态，具有许多卷轴。此外，随着导数顺序的变化，这种吸引子可以在分形过程中自我复制。这一结果揭示了分数阶分形分数导数的另一个重要特征。见文本] 滚动（[公式：见文本]）。使用 Haar 小波方法求解所得分形和分数原洛伦兹系统的三次和二次覆盖，并进行数值模拟。由于分形-分数算子的影响，系统能够保持其吸引子的混沌状态，具有许多卷轴。此外，随着导数顺序的变化，这种吸引子可以在分形过程中自我复制。这一结果揭示了分数阶分形分数导数的另一个重要特征。该系统能够通过许多卷轴保持其吸引子的混沌状态。此外，随着导数顺序的变化，这种吸引子可以在分形过程中自我复制。这一结果揭示了分数阶分形分数导数的另一个重要特征。该系统能够通过许多卷轴保持其吸引子的混沌状态。此外，随着导数顺序的变化，这种吸引子可以在分形过程中自我复制。这一结果揭示了分数阶分形分数导数的另一个重要特征。