In this work, we consider the problem of reconstructing the shape of a three dimensional impenetrable sound-soft axis-symmetric obstacle from measurements of the scattered field at multiple frequencies. This problem has important applications in locating and identifying obstacles with axial symmetry in general, such as, land mines. We present a two-part framework for recovering the shape of the obstacle. In part 1, we introduce an algorithm to find the axis of symmetry of the obstacle by making use of the far field pattern. In part 2, we recover the shape of the obstacle by applying the recursive linearization algorithm (RLA) with multifrequency measurements of the scattered field. In the RLA, a sequence of inverse scattering problems using increasing single frequency measurements are solved. Each of those problems is ill-posed and nonlinear. The ill-posedness is treated by using a band-limited representation for the shape of the obstacle, while the nonlinearity is dealt with by applying the damped Gauss-Newton method. When using the RLA, a large number of forward scattering problems must be solved. Hence, it is paramount to have an efficient and accurate forward problem solver. For the forward problem, we apply separation of variables in the azimuthal coordinate and Fourier decompose the resulting problem, leaving us with a sequence of decoupled simpler forward scattering problems to solve. Numerical examples for the inverse problem are presented to show the feasibility of our two-part framework in different scenarios, particularly for objects with non-smooth boundaries.

中文翻译：

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三维声软轴对称不可穿透物体的逆散射重建

在这项工作中，我们考虑了通过对多个频率的散射场的测量来重建三维不可穿透的声软轴对称障碍物的形状的问题。该问题在定位和识别一般具有轴对称的障碍物（例如地雷）方面具有重要应用。我们提出了一个由两部分组成的框架来恢复障碍物的形状。在第 1 部分中，我们介绍了一种利用远场模式找到障碍物对称轴的算法。在第 2 部分中，我们通过应用递归线性化算法 (RLA) 和散射场的多频测量来恢复障碍物的形状。在 RLA 中，使用增加的单频测量解决了一系列逆散射问题。这些问题中的每一个都是不适定的和非线性的。通过对障碍物的形状使用带限表示来处理不适定性，而通过应用阻尼高斯-牛顿方法来处理非线性。使用 RLA 时，必须解决大量前向散射问题。因此，拥有高效且准确的正向问题求解器至关重要。对于前向问题，我们在方位角坐标中应用变量分离，傅立叶分解结果问题，留下一系列解耦的更简单前向散射问题需要解决。提出了逆问题的数值示例，以展示我们的两部分框架在不同场景中的可行性，特别是对于具有非平滑边界的对象。而非线性则通过应用阻尼高斯-牛顿法来处理。使用 RLA 时，必须解决大量前向散射问题。因此，拥有高效且准确的正向问题求解器至关重要。对于前向问题，我们在方位角坐标中应用变量分离，傅里叶分解结果问题，留下一系列解耦的更简单前向散射问题需要解决。提出了逆问题的数值示例，以展示我们的两部分框架在不同场景中的可行性，特别是对于具有非平滑边界的对象。而非线性则通过应用阻尼高斯-牛顿法来处理。使用 RLA 时，必须解决大量前向散射问题。因此，拥有高效且准确的正向问题求解器至关重要。对于前向问题，我们在方位角坐标中应用变量分离，傅立叶分解结果问题，留下一系列解耦的更简单前向散射问题需要解决。提出了逆问题的数值示例，以展示我们的两部分框架在不同场景中的可行性，特别是对于具有非平滑边界的对象。拥有高效准确的前向问题求解器至关重要。对于前向问题，我们在方位角坐标中应用变量分离，傅立叶分解结果问题，留下一系列解耦的更简单前向散射问题需要解决。提出了逆问题的数值示例，以展示我们的两部分框架在不同场景中的可行性，特别是对于具有非平滑边界的对象。拥有高效准确的前向问题求解器至关重要。对于前向问题，我们在方位角坐标中应用变量分离，傅立叶分解结果问题，留下一系列解耦的更简单前向散射问题需要解决。提出了逆问题的数值示例，以展示我们的两部分框架在不同场景中的可行性，特别是对于具有非平滑边界的对象。