The homogeneous Friedman-Lema\^itre-Robertson-Walker (FLRW) cosmology of a free scalar field with vanishing cosmological constant was recently shown to be invariant under the one-dimensional conformal group $\textrm{SL}(2,\mathbb{R})$ acting as M{o}bius transformations on the proper time. Here we generalize this analysis to arbitrary transformations of the proper time, $\tau\mapsto \tilde{\tau}=f(\tau)$, which are not to be confused with reparametrizations of the time coordinate. First, we show that the FLRW cosmology with a non-vanishing cosmological constant $\Lambda\ne 0$ is also invariant under a $\textrm{SL}(2,\mathbb{R})$ group of conformal transformations. The associated conformal Noether charges form a $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ Lie algebra which encodes the cosmic evolution. Second, we show that a cosmological constant can be generated from the $\Lambda=0$ case through particular conformal transformations, realizing a compactification or de-compactification of the proper time depending on the sign of $\Lambda$. Finally, we propose an extended FLRW cosmological action invariant under the full group $\textrm{Diff}({\cal S}^1)$ of conformal transformations on the proper time, by promoting the cosmological constant to a gauge field for conformal transformations or by modifying the scalar field action to a Schwarzian action. Such a conformally-invariant cosmology leads to a renewed problem of time and to the necessity to re-think inflation in purely time-deparameterized terms.

中文翻译：

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共形变换的宇宙常数：莫比乌斯不变性和施瓦兹作用

具有消失宇宙常数的自由标量场的齐次 Friedman-Lema\^itre-Robertson-Walker (FLRW) 宇宙学最近被证明在一维共形群 $\textrm{SL}(2,\mathbb{ R})$ 在适当的时间充当 M{o}bius 变换。在这里，我们将此分析推广到适当时间的任意变换，$\tau\mapsto\tilde{\tau}=f(\tau)$，不要将其与时间坐标的重新参数化混淆。首先，我们证明了具有非零宇宙学常数 $\Lambda\ne 0$ 的 FLRW 宇宙学在 $\textrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 共形变换群下也是不变的。相关的共形 Noether 电荷形成了 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ 李代数，它编码了宇宙演化。第二，我们表明，可以通过特定的保形变换从 $\Lambda=0$ 的情况生成宇宙常数，根据 $\Lambda$ 的符号实现适当时间的紧缩或去紧缩。最后，我们通过将宇宙常数提升为用于共形变换的规范场，在适时的共形变换的完整组 $\textrm{Diff}({\cal S}^1)$ 下提出了一个扩展的 FLRW 宇宙学行为不变量或者通过将标量场动作修改为 Schwarzian 动作。这种共形不变的宇宙学导致了一个新的时间问题，并导致有必要以纯粹的时间去参数化的方式重新思考暴胀。根据 $\Lambda$ 的符号实现适当时间的压缩或解压缩。最后，我们通过将宇宙常数提升为用于共形变换的规范场，在适时的共形变换的完整组 $\textrm{Diff}({\cal S}^1)$ 下提出了一个扩展的 FLRW 宇宙学行为不变量或者通过将标量场动作修改为 Schwarzian 动作。这种共形不变的宇宙学导致了一个新的时间问题，并导致有必要以纯粹的时间去参数化的方式重新思考暴胀。根据 $\Lambda$ 的符号实现适当时间的压缩或解压缩。最后，我们通过将宇宙常数提升为用于共形变换的规范场，在适时的共形变换的完整组 $\textrm{Diff}({\cal S}^1)$ 下提出了一个扩展的 FLRW 宇宙学行为不变量或者通过将标量场动作修改为 Schwarzian 动作。这种共形不变的宇宙学导致了一个新的时间问题，并导致有必要以纯粹的时间去参数化的方式重新思考暴胀。通过将宇宙常数提升为用于共形变换的规范场或通过将标量场作用修改为 Schwarzian 作用。这种共形不变的宇宙学导致了一个新的时间问题，并导致有必要以纯粹的时间去参数化的方式重新思考暴胀。通过将宇宙常数提升为用于共形变换的规范场或通过将标量场作用修改为 Schwarzian 作用。这种共形不变的宇宙学导致了一个新的时间问题，并导致有必要以纯粹的时间去参数化的方式重新思考暴胀。