We prove the linear stability of slowly rotating Kerr black holes as solutions of the Einstein vacuum equation: linearized perturbations of a Kerr metric decay at an inverse polynomial rate to a linearized Kerr metric plus a pure gauge term. We work in a natural wave map/DeTurck gauge and show that the pure gauge term can be taken to lie in a fixed 7-dimensional space with a simple geometric interpretation. Our proof rests on a robust general framework, based on recent advances in microlocal analysis and non-elliptic Fredholm theory, for the analysis of resolvents of operators on asymptotically flat spaces. With the mode stability of the Schwarzschild metric as well as of certain scalar and 1-form wave operators on the Schwarzschild spacetime as an input, we establish the linear stability of slowly rotating Kerr black holes using perturbative arguments; in particular, our proof does not make any use of special algebraic properties of the Kerr metric. The heart of the paper is a detailed description of the resolvent of the linearization of a suitable hyperbolic gauge-fixed Einstein operator at low energies. As in previous work by the second and third authors on the nonlinear stability of cosmological black holes, constraint damping plays an important role. Here, it eliminates certain pathological generalized zero energy states; it also ensures that solutions of our hyperbolic formulation of the linearized Einstein equation have the stated asymptotics and decay for general initial data and forcing terms, which is a useful feature in nonlinear and numerical applications.

中文翻译：

---

缓慢旋转的克尔黑洞的线性稳定性

我们证明了缓慢旋转的克尔黑洞的线性稳定性作为爱因斯坦真空方程的解：克尔度量的线性扰动以逆多项式速率衰减到线性化克尔度量加上纯规范项。我们在自然波图/德图尔克规范中工作，并表明可以通过简单的几何解释将纯规范项置于固定的 7 维空间中。我们的证明基于一个强大的通用框架，该框架基于微局域分析和非椭圆 Fredholm 理论的最新进展，用于分析渐近平坦空间上的算子解析。以 Schwarzschild 度量以及 Schwarzschild 时空上的某些标量和 1 型波算子的模式稳定性作为输入，我们使用微扰参数建立缓慢旋转的克尔黑洞的线性稳定性；特别是，我们的证明没有使用克尔度量的特殊代数性质。该论文的核心是对低能量下合适的双曲规范固定爱因斯坦算子线性化的解析解的详细描述。正如第二和第三作者之前关于宇宙黑洞非线性稳定性的工作一样，约束阻尼起着重要作用。在这里，它消除了某些病态的广义零能量状态；它还确保线性化爱因斯坦方程的双曲公式的解具有一般初始数据和强迫项的规定渐近和衰减，这在非线性和数值应用中是一个有用的特征。我们的证明没有使用克尔度量的特殊代数性质。该论文的核心是对低能量下合适的双曲规范固定爱因斯坦算子的线性化求解的详细描述。正如第二和第三作者之前关于宇宙黑洞非线性稳定性的工作一样，约束阻尼起着重要作用。在这里，它消除了某些病态的广义零能量状态；它还确保线性化爱因斯坦方程的双曲公式的解具有一般初始数据和强迫项的规定渐近和衰减，这在非线性和数值应用中是一个有用的特征。我们的证明没有使用克尔度量的特殊代数性质。该论文的核心是对低能量下合适的双曲规范固定爱因斯坦算子的线性化求解的详细描述。正如第二和第三作者之前关于宇宙黑洞非线性稳定性的工作一样，约束阻尼起着重要作用。在这里，它消除了某些病态的广义零能量状态；它还确保线性化爱因斯坦方程的双曲公式的解具有一般初始数据和强迫项的规定渐近和衰减，这在非线性和数值应用中是一个有用的特征。该论文的核心是对低能量下合适的双曲规范固定爱因斯坦算子的线性化求解的详细描述。正如第二和第三作者之前关于宇宙黑洞非线性稳定性的工作一样，约束阻尼起着重要作用。在这里，它消除了某些病态的广义零能量状态；它还确保线性化爱因斯坦方程的双曲公式的解具有一般初始数据和强迫项的规定渐近和衰减，这在非线性和数值应用中是一个有用的特征。该论文的核心是对低能量下合适的双曲规范固定爱因斯坦算子的线性化求解的详细描述。正如第二和第三作者之前关于宇宙黑洞非线性稳定性的工作一样，约束阻尼起着重要作用。在这里，它消除了某些病态的广义零能量状态；它还确保线性化爱因斯坦方程的双曲公式的解具有一般初始数据和强迫项的规定渐近和衰减，这在非线性和数值应用中是一个有用的特征。约束阻尼起着重要作用。在这里，它消除了某些病态的广义零能量状态；它还确保线性化爱因斯坦方程的双曲公式的解具有一般初始数据和强迫项的规定渐近和衰减，这在非线性和数值应用中是一个有用的特征。约束阻尼起着重要作用。在这里，它消除了某些病态的广义零能量状态；它还确保线性化爱因斯坦方程的双曲公式的解具有一般初始数据和强迫项的规定渐近和衰减，这在非线性和数值应用中是一个有用的特征。