Let $\varphi\in C^0 \cap W^{1,2}(\Sigma, X)$ where $\Sigma$ is a compact Riemann surface, $X$ is a compact locally CAT(1) space, and $W^{1,2}(\Sigma,X)$ is defined as in Korevaar-Schoen. We use the technique of harmonic replacement to prove that either there exists a harmonic map $u:\Sigma \to X$ homotopic to $\varphi$ or there exists a conformal harmonic map $v:\mathbb S^2 \to X$. To complete the argument, we prove compactness for energy minimizers and a removable singularity theorem for conformal harmonic maps.

中文翻译：

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存在谐波映射到 CAT(1) 空间

令 $\varphi\in C^0 \cap W^{1,2}(\Sigma, X)$ 其中 $\Sigma$ 是紧致黎曼曲面，$X$ 是紧致局部 CAT(1) 空间，并且$W^{1,2}(\Sigma,X)$ 在 Korevaar-Schoen 中定义。我们使用调和替换技术来证明要么存在一个调和映射 $u:\Sigma \to X$ 与 $\varphi$ 同伦，要么存在一个共形调和映射 $v:\mathbb S^2 \to X$ . 为了完成论证，我们证明了能量最小化器的紧凑性和共形调和映射的可移除奇点定理。