We classify all the cyclic self-dual codes of length $$p^k$$ over the finite chain ring $$\mathcal R:=\mathbb Z_p[u]/\langle u^3 \rangle $$ , which is not a Galois ring, where p is a prime number and k is a positive integer. First, we find all the dual codes of cyclic codes over $${\mathcal R}$$ of length $$p^k$$ for every prime p. We then prove that if a cyclic code over $${\mathcal R}$$ of length $$p^k$$ is self-dual, then p should be equal to 2. Furthermore, we completely determine the generators of all the cyclic self-dual codes over $$\mathbb Z_2[u]/\langle u^3 \rangle $$ of length $$2^k$$ . Finally, we obtain a mass formula for counting cyclic self-dual codes over $$\mathbb Z_2[u]/\langle u^3 \rangle $$ of length $$2^k$$ .

中文翻译：

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链环上自双循环码的分类 $$\mathbb Z_p[u]/\langle u^3 \rangle $$

我们在有限链环 $$\mathcal R:=\mathbb Z_p[u]/\langle u^3 \rangle $$ 上对所有长度为 $$p^k$$ 的循环自对偶码进行分类，这不是伽罗瓦环，其中 p 是素数，k 是正整数。首先，我们为每个质数 p 找到长度为 $$p^k$$ 的 $${\mathcal R}$$ 循环码的所有对偶码。然后我们证明，如果长度为 $$p^k$$ 的 $${\mathcal R}$$ 上的循环码是自对偶的，那么 p 应该等于 2。此外，我们完全确定了所有的生成器在 $$\mathbb Z_2[u]/\langle u^3 \rangle $$ 的长度为 $$2^k$$ 的循环自对偶码。最后，我们得到了一个质量公式，用于计算长度为 $$2^k$$ 的 $$\mathbb Z_2[u]/\langle u^3 \rangle $$ 上的循环自对偶码。