Let $${\mathbb {F}}_q$$ be the finite field with q elements and let f be a permutation polynomial over $${\mathbb {F}}_q$$. Let $$S_q$$ denote the symmetric group on $${\mathbb {F}}_q$$. In this paper, we mainly investigate some characterizations on the elements $$f \in S_q$$ of order 3, i.e., $$f\circ f\circ f=I$$, where f is also called a triple-cycle permutation in the literature. Some explicit triple-cycle permutations are constructed.

中文翻译：

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$$x^rh(x^s)$$ 形式的三循环排列的表征和构造

令 $${\mathbb {F}}_q$$ 为具有 q 个元素的有限域，令 f 为 $${\mathbb {F}}_q$$ 上的置换多项式。令 $$S_q$$ 表示 $${\mathbb {F}}_q$$ 上的对称群。在本文中，我们主要研究了3阶元素$$f\in S_q$$的一些表征，即$$f\circ f\circ f=I$$，其中f也称为三环置换在文献中。构造了一些显式的三循环排列。