For any positive integers $n=2k$ and $m$ such that $m\geq k$, in this paper we show the maximal number of bent components of any $(n,m)$-functions is equal to $2^{m}-2^{m-k}$, and for those attaining the equality, their algebraic degree is at most $k$. It is easily seen that all $(n,m)$-functions of the form $G(x)=(F(x),0)$ with $F(x)$ being any vectorial bent $(n,k)$-function, have the maximum number of bent components. Those simple functions $G$ are called trivial in this paper. We show that for a power $(n,n)$-function, it has such large number of bent components if and only if it is trivial under a mild condition. We also consider the $(n,n)$-function of the form $F^{i}(x)=x^{2^{i}}h({\rm Tr}^{n}_{e}(x))$, where $h: \mathbb{F}_{2^{e}} \rightarrow \mathbb{F}_{2^{e}}$, and show that $F^{i}$ has such large number if and only if $e=k$, and $h$ is a permutation over $\mathbb{F}_{2^{k}}$. It proves that all the previously known nontrivial such functions are subclasses of the functions $F^{i}$. Based on the Maiorana-McFarland class, we present constructions of large numbers of $(n,m)$-functions with maximal number of bent components for any integer $m$ in bivariate representation. We also determine the differential spectrum and Walsh spectrum of the constructed functions. It is found that our constructions can also provide new plateaued vectorial functions.

中文翻译：

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关于具有最大弯曲分量的 (n, m)-函数的构造和性质

对于任何正整数 $n=2k$ 和 $m$ 使得 $m\geq k$，在本文中我们证明任何 $(n,m)$-函数的最大弯曲分量数等于 $2^{ m}-2^{mk}$，对于达到等式的人，他们的代数次数最多为 $k$。很容易看出，所有形式为 $G(x)=(F(x),0)$ 的 $(n,m)$ 函数，其中 $F(x)$ 是任何向量弯曲 $(n,k) $-function，具有最大数量的弯曲组件。那些简单的函数 $G$ 在本文中被称为平凡的。我们表明，对于幂 $(n,n)$ 函数，当且仅当它在温和条件下是微不足道的时，它具有如此多的弯曲分量。我们还考虑 $(n,n)$ 形式的 $F^{i}(x)=x^{2^{i}}h({\rm Tr}^{n}_{e} (x))$，其中 $h：\mathbb{F}_{2^{e}} \rightarrow \mathbb{F}_{2^{e}}$，并证明 $F^{i}$有这么大的数当且仅当 $e=k$，而 $h$ 是 $\mathbb{F}_{2^{k}}$ 的排列。它证明了所有先前已知的非平凡函数都是 $F^{i}$ 函数的子类。基于 Maiorana-McFarland 类，我们提出了大量 $(n,m)$ 函数的构造，其具有最大数量的弯曲分量，用于双变量表示中的任何整数 $m$。我们还确定了构造函数的微分谱和沃尔什谱。发现我们的构造还可以提供新的平稳向量函数。m)$-在二元表示中任何整数 $m$ 具有最大弯曲分量数的函数。我们还确定了构造函数的微分谱和沃尔什谱。发现我们的构造还可以提供新的平稳向量函数。m)$-在二元表示中任何整数 $m$ 具有最大弯曲分量数的函数。我们还确定了构造函数的微分谱和沃尔什谱。发现我们的构造还可以提供新的平稳向量函数。