We show that there is a unique hypersurface of minimal degree passing through the non-faces of a polytope which is defined by a simple hyperplane arrangement. This generalizes the construction of the adjoint curve of a polygon by Wachspress (A rational finite element basis, Academic Press, New York, 1975). The defining polynomial of our adjoint hypersurface is the adjoint polynomial introduced by Warren (Adv Comput Math 6:97–108, 1996). This is a key ingredient for the definition of Wachspress coordinates, which are barycentric coordinates on an arbitrary convex polytope. The adjoint polynomial also appears both in algebraic statistics, when studying the moments of uniform probability distributions on polytopes, and in intersection theory, when computing Segre classes of monomial schemes. We describe the Wachspress map, the rational map defined by the Wachspress coordinates, and the Wachspress variety, the image of this map. The inverse of the Wachspress map is the projection from the linear span of the image of the adjoint hypersurface. To relate adjoints of polytopes to classical adjoints of divisors in algebraic geometry, we study irreducible hypersurfaces that have the same degree and multiplicity along the non-faces of a polytope as its defining hyperplane arrangement. We list all finitely many combinatorial types of polytopes in dimensions two and three for which such irreducible hypersurfaces exist. In the case of polygons, the general such curves are elliptic. In the three-dimensional case, the general such surfaces are either K3 or elliptic.

我们表明，有一个最小程度的独特超曲面穿过一个简单的超平面排列所定义的多面体的非面。这概括了Wachspress（有理有限元基础，Academic Press，纽约，1975年）构造多边形的伴随曲线的方法。伴随超曲面的定义多项式是Warren引入的伴随多项式（Adv Comput Math 6：97-108，1996）。这是定义Wachspress坐标的关键要素，Wachspress坐标是任意凸多面体上的重心坐标。伴随多项式还出现在代数统计中（当研究多点上的均匀概率分布的时刻）和交会理论（当计算Segre类的单项式方案时）。我们描述了Wachspress地图，Wachspress坐标定义的有理图，以及Wachspress变体，即该图的图像。Wachspress贴图的逆函数是伴随超曲面图像的线性跨度的投影。为了将多拓扑的伴随与代数几何中除数的经典伴随联系起来，我们研究了不可约的超曲面，其沿着多拓扑的非面具有与它定义的超平面排列相同的程度和多重性。我们列出了在维数为2和3的所有有限类型的多面体的组合类型，对于这些组合，存在不可约的超曲面。在多边形的情况下，一般这样的曲线是椭圆形的。在三维情况下，一般这样的表面是K3或椭圆形。Wachspress贴图的逆函数是伴随超曲面图像的线性跨度的投影。为了将多拓扑的伴随与代数几何中除数的经典伴随联系起来，我们研究了不可约的超曲面，其沿着多拓扑的非面具有与它定义的超平面排列相同的程度和多重性。我们列出了在维数为2和3的所有有限类型的多面体的组合类型，对于这些组合，存在不可约的超曲面。在多边形的情况下，一般这样的曲线是椭圆形的。在三维情况下，一般这样的表面是K3或椭圆形。Wachspress贴图的逆函数是伴随超曲面图像的线性跨度的投影。为了将多拓扑的伴随与代数几何中除数的经典伴随联系起来，我们研究了不可约的超曲面，其沿着多拓扑的非面具有与它定义的超平面排列相同的程度和多重性。我们列出了在维数为2和3的所有有限类型的多面体的组合类型，对于这些组合，存在不可约的超曲面。在多边形的情况下，一般这样的曲线是椭圆形的。在三维情况下，一般这样的表面是K3或椭圆形。我们研究了不可约的超曲面，该曲面在多面体的非面上具有与其定义的超平面排列相同的度数和多重性。我们列出了在维数为2和3的所有有限类型的多面体的组合类型，对于这些组合，存在不可约的超曲面。在多边形的情况下，一般这样的曲线是椭圆形的。在三维情况下，一般这样的表面是K3或椭圆形。我们研究了不可约的超曲面，该曲面在多面体的非面上具有与其定义的超平面排列相同的度数和多重性。我们列出了在维数为2和3的所有有限类型的多面体的组合类型，对于这些组合，存在不可约的超曲面。在多边形的情况下，一般这样的曲线是椭圆形的。在三维情况下，一般这样的表面是K3或椭圆形。