In [Abreu and Sena‐Dias, Ann. Global Anal. Geom. 41 (2012) 209–239], the authors construct two distinct families of scalar‐flat Kähler non‐compact toric metrics using Donaldson's rephrasing of Joyce's construction in action‐angle coordinates. In this paper and using the same set‐up, we show that these are the only scalar‐flat Kähler metrics on any given strictly unbounded toric surface. We also show that the asymptotic behaviour of such a metric determines it uniquely if the metric satisfies some extra mild assumptions.

中文翻译：

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非紧凑复曲面4流形上标量平坦Kähler度量之间的唯一性

在[阿布鲁乌（Abreu）和塞纳·迪亚斯（Sena‐Dias）中，安。全球肛门。Geom。41（2012）209–239]，作者使用唐纳森（Donaldson）在动作角度坐标中对乔伊斯（Joyce）的构造的改写，构造了两个不同的标量平坦的Kähler非紧缩复曲面指标系列。在本文中，使用相同的设置，我们证明了这些是在任何给定的严格无界复曲面上唯一的标量平坦的Kähler度量。我们还表明，如果该指标满足一些额外的温和假设，则该指标的渐近行为将唯一地确定该指标。