We introduce the notion of an effective Kan fibration, a new mathematical structure that can be used to study simplicial homotopy theory. Our main motivation is to make simplicial homotopy theory suitable for homotopy type theory. Effective Kan fibrations are maps of simplicial sets equipped with a structured collection of chosen lifts that satisfy certain non-trivial properties. This contrasts with the ordinary, unstructured notion of a Kan fibration. We show that fundamental properties of Kan fibrations can be extended to explicit constructions on effective Kan fibrations. In particular, we give a constructive (explicit) proof showing that effective Kan fibrations are stable under push forward, or fibred exponentials. This is known to be impossible for ordinary Kan fibrations. We further show that effective Kan fibrations are local, or completely determined by their fibres above representables. We also give an (ineffective) proof saying that the maps which can be equipped with the structure of an effective Kan fibration are precisely the ordinary Kan fibrations. Hence implicitly, both notions still describe the same homotopy theory. By showing that the effective Kan fibrations combine all these properties, we solve an open problem in homotopy type theory. In this way our work provides a first step in giving a constructive account of Voevodsky's model of univalent type theory in simplicial sets.

中文翻译：

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单纯集合中的有效 Kan 纤维化

我们介绍了有效 Kan 纤维化的概念，这是一种新的数学结构，可用于研究单纯同伦理论。我们的主要动机是使单纯同伦理论适用于同伦类型理论。有效的 Kan fibrations 是配备了满足某些非平凡属性的选定提升的结构化集合的单纯集的映射。这与 Kan 纤维化的普通、非结构化概念形成对比。我们表明，Kan fibrations 的基本性质可以扩展到有效 Kan fibrations 的显式构造。特别是，我们给出了一个建设性的（明确的）证明，表明有效的 Kan 纤维在推进或纤维指数下是稳定的。众所周知，这对于普通的 Kan 纤维化是不可能的。我们进一步表明，有效的 Kan 纤维是局部的，或完全由其以上可表示的纤维决定。我们还给出了一个（无效的）证明，即可以配备有效 Kan 纤维结构的映射正是普通的 Kan 纤维结构。因此，隐含地，这两个概念仍然描述了相同的同伦理论。通过证明有效的 Kan 纤维结合了所有这些特性，我们解决了同伦类型理论中的一个悬而未决的问题。通过这种方式，我们的工作提供了对 Voevodsky 在单纯集合中的单价类型理论模型进行建设性说明的第一步。这两个概念仍然描述相同的同伦理论。通过证明有效的 Kan 纤维结合了所有这些特性，我们解决了同伦类型理论中的一个悬而未决的问题。通过这种方式，我们的工作提供了对 Voevodsky 在单纯集合中的单价类型理论模型进行建设性说明的第一步。这两个概念仍然描述相同的同伦理论。通过证明有效的 Kan 纤维结合了所有这些特性，我们解决了同伦类型理论中的一个悬而未决的问题。通过这种方式，我们的工作提供了对 Voevodsky 在单纯集合中的单价类型理论模型进行建设性说明的第一步。