In this paper, we study some $(p,q)$-Hardy type inequalities for $(p,q)$-integrable functions. Moreover, we also study $(p,q)$-Hölder integral inequality and $(p,q)$-Minkowski integral inequality for two variables. By taking $p=1$ and $q\to 1$, our results reduce to classical results on Hardy type inequalities, Hölder integral inequality and Minkowski integral inequality for two variables.

中文翻译：

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一些（P，Q），用于-Hardy型不等式（P，Q）-integrable功能

在本文中，我们研究了（p，q）$可积函数的$（p，q）$-Hardy型不等式。此外，我们还研究了两个变量的$（p，q）$-Hölder积分不等式和$（p，q）$-Minkowski积分不等式。通过使$ p = 1 $和$ q \至1 $，我们的结果简化为关于两个变量的Hardy型不等式，Hölder积分不等式和Minkowski积分不等式的经典结果。