In this paper we establish an optimal Lorentz estimate for the Riesz potential in the $L^1$ regime in the setting of a stratified group $G$: Let $Q\ge 2$ be the homogeneous dimension of $G$ and ${\mathcal{I}}_{\alpha }$ denote the Riesz potential of order $\alpha$ on $G$. Then, for every $\alpha \in (0,Q)$, there exists a constant $C=C(\alpha ,Q)>0$ such that (0.1)${\Vert {\mathcal{I}}_{\alpha }f\Vert }_{L^{Q∕(Q-\alpha ),1}\left(G\right)}\le C{\Vert X{\mathcal{I}}_{1}f\Vert }_{L^1\left(G\right)}$for all $f\in C_c^{\infty }\left(G\right)$ such that $X{\mathcal{I}}_{1}f\in L^1\left(G\right)$, where $X$ denotes the horizontal gradient.

中文翻译：

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关于的一些评论 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}$ 在椭圆下嵌入

在本文中，我们为Riesz势建立了一个最佳Lorentz估计。 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}$ 分层团体中的政权 $G$：让 $问\ge 2$ 是...的齐次维 $G$ 和 ${\mathcal{一世}}_{\alpha }$ 表示有序的Riesz势 $\alpha$ 上 $G$。然后，对于每个$\alpha \in （0，问）$，存在一个常数 $C=C（\alpha ，问）>0$这样（0.1）${\Vert {\mathcal{一世}}_{\alpha }F\Vert }_{{\mathrm{大号}}^{问∕（问-\alpha ），\mathrm{1个}}（G）}\le C{\Vert X{\mathcal{一世}}_{\mathrm{1个}}F\Vert }_{{\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}（G）}$对所有人 $F\in C_C^{\infty }（G）$ 这样 $X{\mathcal{一世}}_{\mathrm{1个}}F\in {\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}（G）$，在哪里 $X$ 表示水平渐变。