In this work, we investigate hyperelliptic curves of type $C:y^2=x^{2g+1}+a{x}^{g+1}+bx$ over the finite field ${\mathbb{F}}_q,q=p^n,p>2$. For the case of $g=3$ we propose an algorithm to compute the number of points on the Jacobian of the curve with complexity $\tilde{O}({\log }^{4}p)$ over ${\mathbb{F}}_p$. In case of $g=4$ we present a point counting algorithm with complexity $\tilde{O}({\log }^{8}q)$ over ${\mathbb{F}}_q$. The Jacobian $J_C$ splits over an extension of the field ${\mathbb{F}}_q$ on the Jacobians of the curves defined by the Dickson polynomials $D_g(x,1)$ of degree g. For these curves of genus $2,3,5$ with equation $y^2=D_g(x,1)+a$ and curves of genus $2,4$ with equation $y^2=(x+2)(D_g(x,1)+a)$, we give the lists of possible characteristic polynomials of the Frobenius endomorphism modulo p.

在这项工作中，我们研究了类型的超椭圆曲线 $C：{ÿ}^2=X^{2G+\mathrm{1个}}+\mathrm{一种}{X}^{G+\mathrm{1个}}+bX$ 在有限域上 ${\mathbb{F}}_q，q=p^{ñ}，p>2$。对于$G=3$ 我们提出一种算法来计算复杂度曲线的雅可比点的数量 $\stackrel{〜}{Ø}（{\mathrm{日志}}^{4}p）$ 过度 ${\mathbb{F}}_p$。的情况下$G=4$ 我们提出一种复杂的点数算法 $\stackrel{〜}{Ø}（{\mathrm{日志}}^{8}q）$ 过度 ${\mathbb{F}}_q$。雅可比${Ĵ}_C$ 拆分字段的扩展 ${\mathbb{F}}_q$ 在由Dickson多项式定义的曲线的Jacobian上 $d_G（X，\mathrm{1个}）$度g。对于这些属的曲线$2，3，5$ 与方程式 ${ÿ}^2=d_G（X，\mathrm{1个}）+\mathrm{一种}$ 和属的曲线 $2，4$ 与方程式 ${ÿ}^2=（X+2）（d_G（X，\mathrm{1个}）+\mathrm{一种}）$，我们给出了Frobenius同态模p的可能特征多项式的列表。