In this paper, we introduce differential exponential maps in Cartesian differential categories, which generalizes the exponential function $$e^x$$ e x from classical differential calculus. A differential exponential map is an endomorphism which is compatible with the differential combinator in such a way that generalizations of $$e^0 = 1$$ e 0 = 1 , $$e^{x+y} = e^x e^y$$ e x + y = e x e y , and $$\frac{\partial e^x}{\partial x} = e^x$$ ∂ e x ∂ x = e x all hold. Every differential exponential map induces a commutative rig, which we call a differential exponential rig, and conversely, every differential exponential rig induces a differential exponential map. In particular, differential exponential maps can be defined without the need of limits, converging power series, or unique solutions of certain differential equations—which most Cartesian differential categories do not necessarily have. That said, we do explain how every differential exponential map does provide solutions to certain differential equations, and conversely how in the presence of unique solutions, one can derivative a differential exponential map. Examples of differential exponential maps in the Cartesian differential category of real smooth functions include the exponential function, the complex exponential function, the split complex exponential function, and the dual numbers exponential function. As another source of interesting examples, we also study differential exponential maps in the coKleisli category of a differential category.

中文翻译：

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笛卡尔微分范畴中的指数函数

在本文中，我们介绍了笛卡尔微分类别中的微分指数映射，它从经典微分中推广了指数函数 $$e^x$$ex。微分指数映射是一种与微分组合子兼容的内同态，即 $$e^0 = 1$$ e 0 = 1 , $$e^{x+y} = e^xe^y $$ ex + y = exey 和 $$\frac{\partial e^x}{\partial x} = e^x$$ ∂ ex ∂ x = ex 都成立。每一个微分指数映射都会引出一个交换绑定，我们称之为微分指数绑定，反之，每个微分指数绑定都会引入一个微分指数映射。特别是，微分指数映射可以在不需要限制的情况下定义，收敛幂级数，或某些微分方程的唯一解——大多数笛卡尔微分类别不一定有。也就是说，我们确实解释了每个微分指数映射如何为某些微分方程提供解，相反，在存在唯一解的情况下，我们如何推导微分指数映射。实平滑函数的笛卡尔微分类别中的微分指数映射的示例包括指数函数、复指数函数、分裂复指数函数和对偶数指数函数。作为另一个有趣例子的来源，我们还研究了微分类别的 coKleisli 类别中的微分指数映射。我们确实解释了每个微分指数映射如何确实提供某些微分方程的解，相反，在存在唯一解的情况下，人们如何导出微分指数映射。实平滑函数的笛卡尔微分类别中的微分指数映射的示例包括指数函数、复指数函数、分裂复指数函数和对偶数指数函数。作为另一个有趣例子的来源，我们还研究了微分类别的 coKleisli 类别中的微分指数映射。我们确实解释了每个微分指数映射如何确实提供某些微分方程的解，相反，在存在唯一解的情况下，人们如何导出微分指数映射。实平滑函数的笛卡尔微分类别中的微分指数映射的示例包括指数函数、复指数函数、分裂复指数函数和对偶数指数函数。作为另一个有趣例子的来源，我们还研究了微分类别的 coKleisli 类别中的微分指数映射。实平滑函数的笛卡尔微分类别中的微分指数映射的示例包括指数函数、复指数函数、分裂复指数函数和对偶数指数函数。作为另一个有趣例子的来源，我们还研究了微分类别的 coKleisli 类别中的微分指数映射。实平滑函数的笛卡尔微分类别中的微分指数映射的示例包括指数函数、复指数函数、分裂复指数函数和对偶数指数函数。作为另一个有趣例子的来源，我们还研究了微分类别的 coKleisli 类别中的微分指数映射。