While nonlinear stochastic partial differential equations arise naturally in spatiotemporal modeling, inference for such systems often faces two major challenges: sparse noisy data and ill-posedness of the inverse problem of parameter estimation. To overcome the challenges, we introduce a strongly regularized posterior by normalizing the likelihood and by imposing physical constraints through priors of the parameters and states. We investigate joint parameter-state estimation by the regularized posterior in a physically motivated nonlinear stochastic energy balance model (SEBM) for paleoclimate reconstruction. The high-dimensional posterior is sampled by a particle Gibbs sampler that combines MCMC with an optimal particle filter exploiting the structure of the SEBM. In tests using either Gaussian or uniform priors based on the physical range of parameters, the regularized posteriors overcome the ill-posedness and lead to samples within physical ranges, quantifying the uncertainty in estimation. Due to the ill-posedness and the regularization, the posterior of parameters presents a relatively large uncertainty, and consequently, the maximum of the posterior, which is the minimizer in a variational approach, can have a large variation. In contrast, the posterior of states generally concentrates near the truth, substantially filtering out observation noise and reducing uncertainty in the unconstrained SEBM.

中文翻译：

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来自稀疏噪声数据的非线性随机能量平衡模型的联合状态参数估计

虽然非线性随机偏微分方程在时空建模中自然出现，但此类系统的推理通常面临两大挑战：稀疏噪声数据和参数估计逆问题的不适定性。为了克服这些挑战，我们通过对似然进行归一化并通过参数和状态的先验施加物理约束来引入强正则化后验。我们通过物理激励的非线性随机能量平衡模型 (SEBM) 中的正则化后验来研究联合参数状态估计，用于古气候重建。高维后验由粒子 Gibbs 采样器采样，该采样器将 MCMC 与利用 SEBM 结构的最佳粒子滤波器相结合。在基于参数物理范围使用高斯或统一先验的测试中，正则化后验克服了不适定性并导致物理范围内的样本，量化估计的不确定性。由于病态和正则化，参数的后验呈现出较大的不确定性，因此，后验的最大值，即变分方法中的最小值，可以有很大的变化。相比之下，状态的后验通常集中在真实值附近，大大滤除观察噪声并减少无约束 SEBM 中的不确定性。参数的后验呈现出相对较大的不确定性，因此，后验的最大值，即变分方法中的最小值，可以有很大的变化。相比之下，状态的后验通常集中在真实值附近，大大滤除观察噪声并减少无约束 SEBM 中的不确定性。参数的后验呈现出相对较大的不确定性，因此，后验的最大值，即变分方法中的最小值，可以有很大的变化。相比之下，状态的后验通常集中在真实值附近，大大滤除观察噪声并减少无约束 SEBM 中的不确定性。