We consider the $q$-nonabelianization map, which maps links $L$ in a 3-manifold $M$ to links $\widetilde{L}$ in a branched $N$-fold cover $\widetilde{M}$. In quantum field theory terms, $q$-nonabelianization is the UV-IR map relating two different sorts of defect: in the UV we have the six-dimensional $(2,0)$ superconformal field theory of type $\mathfrak{gl}(N)$ on $M \times \mathbb{R}^{2,1}$, and we consider surface defects placed on $L \times \{x^4 = x^5 = 0\}$; in the IR we have the $(2,0)$ theory of type $\mathfrak{gl}(1)$ on $\widetilde{M} \times \mathbb{R}^{2,1}$, and put the defects on $\widetilde{L} \times \{x^4 = x^5 = 0\}$. In the case $M = \mathbb{R}^3$, $q$-nonabelianization computes the Jones polynomial of a link, or its analogue associated to the group $U(N)$. In the case $M = C \times \mathbb{R}$, when the projection of $L$ to $C$ is a simple non-contractible loop, $q$-nonabelianization computes the protected spin character for framed BPS states in 4d $\mathcal{N}=2$ theories of class $S$. In the case $N=2$ and $M = C \times \mathbb{R}$, we give a concrete construction of the $q$-nonabelianization map. The construction uses the data of the WKB foliations associated to a holomorphic covering $\widetilde{C} \to C$.

中文翻译：

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线缺陷的 q-nonabelianization

我们考虑 $q$-nonabelianization 映射，它将 3-流形 $M$ 中的链接 $L$ 映射到分支 $N$-fold 覆盖 $\widetilde{M}$ 中的链接 $\widetilde{L}$。在量子场论术语中，$q$-nonabelianization 是与两种不同类型缺陷相关的 UV-IR 映射：在 UV 中，我们有 $\mathfrak{gl 类型的六维 $(2,0)$ 超共形场论}(N)$ 在 $M \times \mathbb{R}^{2,1}$ 上，我们考虑放置在 $L \times \{x^4 = x^5 = 0\}$ 上的表面缺陷；在 IR 中，我们在 $\widetilde{M} \times \mathbb{R}^{2,1}$ 上有 $\mathfrak{gl}(1)$ 类型的 $(2,0)$ 理论，并把$\widetilde{L} \times \{x^4 = x^5 = 0\}$ 上的缺陷。在 $M = \mathbb{R}^3$ 的情况下，$q$-nonabelianization 计算链接的琼斯多项式，或其与组 $U(N)$ 相关联的类似物。在 $M = C \times \mathbb{R}$ 的情况下，当 $L$ 到 $C$ 的投影是一个简单的不可收缩循环时，$q$-nonabelianization 在 $S$ 类的 4d $\mathcal{N}=2$ 理论中计算框架 BPS 状态的受保护自旋字符. 在 $N=2$ 和 $M = C \times \mathbb{R}$ 的情况下，我们给出了 $q$-nonabelianization 映射的具体构造。该构造使用与全纯覆盖 $\widetilde{C} \to C$ 相关联的 WKB 叶面数据。