The network embedding problem that maps nodes in a graph to vectors in Euclidean space can be very useful for addressing several important tasks on a graph. Recently, graph neural networks (GNNs) have been proposed for solving such a problem. However, most embedding algorithms and GNNs are difficult to interpret and do not scale well to handle millions of nodes. In this paper, we tackle the problem from a new perspective based on the equivalence of three constrained optimization problems: the network embedding problem, the trace maximization problem of the modularity matrix in a sampled graph, and the matrix factorization problem of the modularity matrix in a sampled graph. The optimal solutions to these three problems are the dominant eigenvectors of the modularity matrix. We proposed two algorithms that belong to a special class of graph convolutional networks (GCNs) for solving these problems: (i) Clustering As Feature Embedding GCN (CAFE-GCN) and (ii) sphere-GCN. Both algorithms are stable trace maximization algorithms, and they yield good approximations of dominant eigenvectors. Moreover, there are linear-time implementations for sparse graphs. In addition to solving the network embedding problem, both proposed GCNs are capable of performing dimensionality reduction. Various experiments are conducted to evaluate our proposed GCNs and show that our proposed GCNs outperform almost all the baseline methods. Moreover, CAFE-GCN could be benefited from the labeled data and have tremendous improvements in various performance metrics.

中文翻译：

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用于学习图表示的可解释、稳定和可扩展的图卷积网络

将图中的节点映射到欧几里德空间中的向量的网络嵌入问题对于解决图上的几个重要任务非常有用。最近，已经提出了图神经网络（GNN）来解决这样的问题。然而，大多数嵌入算法和 GNN 很难解释，并且不能很好地扩展以处理数百万个节点。在本文中，我们基于三个约束优化问题的等价性从一个新的角度来解决这个问题：网络嵌入问题、采样图中模块化矩阵的迹最大化问题和模块化矩阵的矩阵分解问题。一个采样图。这三个问题的最优解是模块化矩阵的主要特征向量。我们提出了两种属于特殊类别的图卷积网络 (GCN) 的算法来解决这些问题：(i) 聚类作为特征嵌入 GCN (CAFE-GCN) 和 (ii) sphere-GCN。这两种算法都是稳定的迹最大化算法，并且它们产生了主导特征向量的良好近似。此外，稀疏图还有线性时间实现。除了解决网络嵌入问题外，两个提出的 GCN 都能够进行降维。进行了各种实验来评估我们提出的 GCN，并表明我们提出的 GCN 几乎优于所有基线方法。此外，CAFE-GCN 可以从标记数据中受益，并在各种性能指标上有巨大的改进。(i) 聚类作为特征嵌入 GCN (CAFE-GCN) 和 (ii) sphere-GCN。这两种算法都是稳定的迹最大化算法，并且它们产生了主导特征向量的良好近似。此外，稀疏图还有线性时间实现。除了解决网络嵌入问题外，两个提出的 GCN 都能够进行降维。进行了各种实验来评估我们提出的 GCN，并表明我们提出的 GCN 几乎优于所有基线方法。此外，CAFE-GCN 可以从标记数据中受益，并在各种性能指标上有巨大的改进。(i) 聚类作为特征嵌入 GCN (CAFE-GCN) 和 (ii) sphere-GCN。这两种算法都是稳定的迹最大化算法，并且它们产生了主导特征向量的良好近似。此外，稀疏图还有线性时间实现。除了解决网络嵌入问题外，两个提出的 GCN 都能够进行降维。进行了各种实验来评估我们提出的 GCN，并表明我们提出的 GCN 几乎优于所有基线方法。此外，CAFE-GCN 可以从标记数据中受益，并在各种性能指标上有巨大的改进。稀疏图有线性时间实现。除了解决网络嵌入问题之外，两个提出的 GCN 都能够进行降维。进行了各种实验来评估我们提出的 GCN，并表明我们提出的 GCN 几乎优于所有基线方法。此外，CAFE-GCN 可以从标记数据中受益，并在各种性能指标上有巨大的改进。稀疏图有线性时间实现。除了解决网络嵌入问题外，两个提出的 GCN 都能够进行降维。进行了各种实验来评估我们提出的 GCN，并表明我们提出的 GCN 几乎优于所有基线方法。此外，CAFE-GCN 可以从标记数据中受益，并在各种性能指标上有巨大的改进。