SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 34, Issue 3, Page 1984-1998, January 2020.
We study the growth of product sets in some finite three-dimensional matrix groups. In particular, we prove two results about the group of $2\times 2$ upper triangular matrices over arbitrary finite fields: a product set estimate using techniques from multiplicative combinatorics and an energy estimate using incidence geometry. The energy method gives better quantitative results but only applies to small sets. We also prove an energy result for the Heisenberg group.

中文翻译：

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某些有限三维矩阵组的增长

SIAM离散数学杂志，第34卷，第3期，第1984-1998页，2020年1月。
我们研究了有限的三维矩阵组中乘积集的增长。特别是，我们证明了关于任意有限域上的2×2的上三角矩阵组的两个结果：使用乘法组合技术的乘积估计和使用入射几何的能量估计。能量方法可提供更好的定量结果，但仅适用于小集合。我们还证明了海森堡集团的能源成果。